Identité

[Le petit belge]

Bonsoir,

Dans un calcul, il me faut montrer que la quantité suivante est nulle:



où est le symbole complètement antisymétrique de Levi-civita,
et sont les constantes de structure d'une algèbre de Lie compacte (elles sont complètement antisymétriques ici).
Les indices latins vont de 1 à n et les indices grecs de 1 à 4 (indices d'espace-temps).
Les sont des champs de jauges (mais peu importe ici, ce sont des grandeurs réelles munies d'indices).

Attention, il est possible que cette quantité ne soit pas nulle (ca voudrait dire que je me serais trompé en arrivant à cela). Merci de me le signaler si vous arrivez à montrer que c'est le cas.

Merci d'avance pour votre aide!

PS: les indices répétés sont bien entendus sommés.
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[Universus]

Bonsoir,

Dans un calcul, il me faut montrer que la quantité suivante est nulle:



où est le symbole complètement antisymétrique de Levi-civita,
et sont les constantes de structure d'une algèbre de Lie compacte (elles sont complètement antisymétriques ici).
Les indices latins vont de 1 à n et les indices grecs de 1 à 4 (indices d'espace-temps).
Les sont des champs de jauges (mais peu importe ici, ce sont des grandeurs réelles munies d'indices).

Attention, il est possible que cette quantité ne soit pas nulle (ca voudrait dire que je me serais trompé en arrivant à cela). Merci de me le signaler si vous arrivez à montrer que c'est le cas.

Merci d'avance pour votre aide!

PS: les indices répétés sont bien entendus sommés.

Je m'interroge : les constantes de structure sont-elles toujours complètement antisymétriques dans leurs indices ? Du moins, est-il toujours possible de choisir une base pour l'algèbre telle qu'elles le sont ? Est-ce lié à une certaine classification des algèbres de Lie compactes ?

Je n'ai pas tenté le calcul, mais j'ai quelques idées. Notons ; cette matrice est nulle si et seulement si le carré de sa norme, , l'est. À vue de nez, il est possible que l'identité de Jacobi (exprimée via les constantes de structures) apparaisse directement ou puisse être explicitement introduite, donnant la réponse recherchée. La relation 8 de cette page wiki pourrait aider à calculer cette expression.

[Le petit belge]

Je m'interroge : les constantes de structure sont-elles toujours complètement antisymétriques dans leurs indices ? Du moins, est-il toujours possible de choisir une base pour l'algèbre telle qu'elles le sont ? Est-ce lié à une certaine classification des algèbres de Lie compactes ?

Je n'ai pas tenté le calcul, mais j'ai quelques idées. Notons ; cette matrice est nulle si et seulement si le carré de sa norme, , l'est. À vue de nez, il est possible que l'identité de Jacobi (exprimée via les constantes de structures) apparaisse directement ou puisse être explicitement introduite, donnant la réponse recherchée. La relation 8 de cette page wiki pourrait aider à calculer cette expression.

Merci pour ta réponse! Oui, on peut supposer que les constantes de structures sont complètement antisymétriques, à condition que l'algèbre de Lie soit compacte (en choisissant une base orthonormée de cette algèbre, cela se montre aisément, en utilisant notamment l'invariance de la forme bilinéaire je crois. Mais étant physicien, il se pourrait que d'autres hypothèses plus techniques soient également requises...)
C'est bon, j'ai finalement fini par trouver, en exprimant les constantes de structure comme un double commutateur emboité des éléments de la base et en développant un peu, ça marche!

Bonne journée,

[Universus]

Merci pour ta réponse! Oui, on peut supposer que les constantes de structures sont complètement antisymétriques, à condition que l'algèbre de Lie soit compacte (en choisissant une base orthonormée de cette algèbre, cela se montre aisément, en utilisant notamment l'invariance de la forme bilinéaire je crois. Mais étant physicien, il se pourrait que d'autres hypothèses plus techniques soient également requises...)

Merci pour votre réponse. J'ai trouvé ceci qui explique la même chose. Ça me met sur la piste de ce que je dois réviser pour mieux comprendre ce qui est en jeu !

[A voir en vidéo sur Futura]