Bonjour a tous. J'ai eu une difficulté pour démontrer une récurrence ( Partie B 3a ).
J'ai procédé de cette manière :
j'ai démontré que la fonction g était décroissante sur [0, +inf[ puis en comparant u(2n+3)=<u(2n+1)=<exp(-1/16) j'ai abouti a u(2n+2)>=u(2n).
Est ce correct et si oui, n'y a t-il pas plus simple et plus rapide ?
Merci
Bonjour,
Rappelles-toi d'abord les différentes étapes d'une raisonnement par récurrence complet. D'abord, quelle propriété P(n) cherches-tu à démontrer ?
Ensuite :
Initialisation : montrer que P(0) est vraie. C'est à dire que u(2*0) <= a <= u(2*0+1)
Hérédité : supposer qu'il existe k quelconque tel que P(k) est vrai, et montrer que ceci implique que P(k+1) est vraie.
Dans cette étape, il est important de voir clairement :
- ce que l'on a : tout ce que l'on sait de la suite u...et notamment, comment exprime-t-on chaque terme en fonction du précédent,
- ce que l'on suppose (hypothèse de récurrence) : P(k) vraie, ce qui veut dire que u(2k) <= a <= u(2k+1))
- ce que l'on veut montrer : P(k+1) vraie, ce qui revient à montrer que u(2(k+1)) <= a <= u(2(k+1)+1)
Conclusion : conclure alors que P(n) est vraie pour tout n.
Merci Rizmoth, je suis bien au courant des mécanismes généraux de la récurrence. Pour, ne pas perdre trop de temps, j'ai donc juste tenté d'exposer ma démarche pour montrer que P(k+1) est vraie. Voici le brouillon de mon travail ( désolé, je n'ai pas eu le courage de rédiger sous LaTex)
20150509_112322.jpg
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Bonjour.
On veut montrer que u(2(k+1)) <= a <= u(2(k+1)+1) .
On sait que u(2k) <= a <= u(2k+1))
Et on sait également par définition de cette suite récurrente, que
u(2(k+1)) = u(2k+2) = g(u(2k +1))
u(2(k+1)+1) = u(2k+3) = g(u(2k +2))
En repartant de l'inégalité u(2k) <= a <= u(2k+1))
Et en appliquant à tous les membres la fonction g, on obtient :
g(u(2k)) >= g(a) >= g(u(2k+1)))
soit : g(u(2k+1))) <= g(a) <= g(u(2k))
L'ordre des images est inversé par rapport à celui des antécédents, puisque comme tu l'as bien démontré, g est strictement décroissante sur R+.
Je pense qu'il faut plutôt partir comme ça. Dans ta démonstration, tu n'utilises à aucun moment le fait que g(a) = a (question 1), ce qui semble pourtant important. Et je pense aussi qu'il n'y a besoin, à aucun moment d'utiliser explicitement l'expression de g avec l'exponentielle (hormis pour déterminer sa dérivée, ce que tu as déjà réussi à faire).
Donc pour la suite, on doit pouvoir conclure :
- en remplaçant les g(machin) par leurs valeurs
- et notamment que g(a) = a
- en utilisant l'hypothèse de récurrence à bon escient, pour aboutir en définitive à l'inégalité recherchée
Cordialement,
Rizmoth.
Bonjour,
Merci pour cette belle démonstration. Juste une petite chose m'échappe ( la fatigue sans doute) : si je continue ta démonstration, j'aboutis à :
u(2(k+1))<=a<=u(2k+1). La deuxième partie de l'inégalité de conclusion n'est pas vérifiée puisqu'on doit aboutir à u(2k+3)
Cordialement
Je suis revenu sur cette démonstration. Pour aboutir a u(2k+3)<=u(2k+1) faut-il utiliser la partie de ma démo ou j'ai déduit le sens de variation de la suite avec g décroissante ?
dans ce cas, on aboutit bien a 1/2<u(2k)<=u(2k+2)<=a<=u(2k+3)<= u(2k+1)<exp(-1/16)
Il n'empêche que tout cela me parait bien long et bien compliqué, non ?
