Les distributions

[freemp]

Salut à tous.

J'aurai quelques questions sur l'usage des distributions, afin de mieux comprendre leur "validité" dans les calculs utilisés en Physique.
J'avais déjà posté un topic dans le forum Physique il y a quelques semaines, mais je préfère en ouvrir un autre ici si possible car mes questions sont peut être plus pour les matheux.

Ce qui me semblait bizarre en Physique c'est que parfois on mélangeait les fonctions et les distributions dans une même ligne de calcul.

Prenons l'exemple d'un dirac :



ici, g(x) est une fonction "classique".

Mathématiquement cette écriture n'a pas de sens d'un point de vue rigoureux.
Mais si ça en a c'est parce que soit :
-> f ne sera qu'un intermédiaire de calcul et ce qui nous intéressera sera une intégrale : , ce qui donnera , et cette dernière écriture a un sens.
-> Soit f est un résultat final réellement représentatif d'une grandeur physique, et à ce moment là il ne faut pas comprendre le dirac comme un dirac au sens strict, mais comme une manière de dire :


Autrement dit, selon l'utilisation de f, l'écriture du dirac a un sens différent.

Et au final, écrire un dirac comme dans la première équation que j'ai montré, c'est juste une manière "d'aller vite" pour écrire des équations.

Bon soit.

Maintenant ce que j'ai du mal à comprendre c'est ceci :

On a définit la dérivée des distributions de manière générale en s'inspirant des distributions régulières ou la fonction est continue (sans saut).
Dans les applications "physiques", je n'ai donc pas de problème à utiliser cette définition de dérivée pour ces distributions régulières.
En revanche, ce que je ne comprends pas c'est comment on peut avoir des résultats "corrects" en physique quand on utilise cette définition de dérivée pour des distributions non régulières (ou des distributions régulières dont la fonction est non continue).

Je m'explique par un exemple :

Prenons la distribution de Heaviside :



Si je souhaite dériver teta au sens des fonctions, j'aurai une intégrale nulle.
Si en revanche j'utilise la dérivée au sens des distributions, j'aurai la présence du terme de saut, et la dérivée sera :

Ce que je trouve étonnant c'est qu'on trouve un Dirac, ce qui colle bien physiquement au fait qu'on a une tangente verticale en 0, mais ce que je ne comprends pas c'est pourquoi mathématiquement ça colle ?
J'insiste sur le fait qu'ici j'ai utilisé le premier exemple qui me vient à l'esprit, j'aurai pu prendre un exempl
J'ai un autre exemple avec les transformées de Fourier :

On montre dans le cas des distributions tempérées régulière que :
On généralise une fois de plus aux distributions "quelconques".

Et ce que je ne comprends pas c'est que comme par hasard, la transformée de fourier d'un dirac donne "comme par hasard" une constante, ce qui est tout à fait cohérent avec l'intuition physique qu'un signal bref donne un large étalement en fréquence.

Etant donné le fait que le dirac n'est pas une fonction, je ne comprends pas pourquoi ça colle si bien ? (si on avait pris une fonction très piquée en 0 et qu'on avait calculé sa TF, j'aurais rien dit, mais le dirac est même pas une fonction !).

Je pourrais poser la même question avec les TF[cos(wt)], comme par hasard on a des pics de diracs à l'endroit des pulsation, comment ça se fait que ça marche aussi bien ?

En gros, je comprends les démarches calculatoires pour obtenir les résultats, mais je ne comprends pas la logique du pourquoi on trouve ce qu'on devrait trouver "intuitivement" ?
Pourriez vous m'éclaircir ?

Merci.

PS : si je n'ai pas été clair n'hésitez pas à me demander des précisions.
-----

[stefjm]

Bonjour,
Juste pour signaler que trois formules n'apparaissent pas. (Only Futura may use...)

[Amanuensis]

Ce qui me semblait bizarre en Physique c'est que parfois on mélangeait les fonctions et les distributions dans une même ligne de calcul.

Prenons l'exemple d'un dirac :



ici, g(x) est une fonction "classique".

Mathématiquement cette écriture n'a pas de sens d'un point de vue rigoureux.

Le sens est clair, parce qu'il y a une injection canonique de l'ensemble des fonctions vers les distributions. Ce n'est pas plus choquant qu'écrire a = b +2, avec a et b des réels et 2 un entier.

Et au final, écrire un dirac comme dans la première équation que j'ai montré, c'est juste une manière "d'aller vite" pour écrire des équations.

C'est une interprétation possible, bien adaptée à la physique (la distribution de dirac introduisant un infini). Mais ce n'est pas une "conséquence mathématique".

On a définit la dérivée des distributions de manière générale en s'inspirant des distributions régulières ou la fonction est continue (sans saut).
Dans les applications "physiques", je n'ai donc pas de problème à utiliser cette définition de dérivée pour ces distributions régulières.

En revanche, ce que je ne comprends pas c'est comment on peut avoir des résultats "corrects" en physique quand on utilise cette définition de dérivée pour des distributions non régulières (ou des distributions régulières dont la fonction est non continue).

La notion de "dérivée d'une distribution" est difficile et dangereuse, oui.

Prenons la distribution de Heaviside :



Si je souhaite dériver teta au sens des fonctions, j'aurai une intégrale nulle.

Pas clair. \theta est dans l'intégrale.

Si en revanche j'utilise la dérivée au sens des distributions, j'aurai la présence du terme de saut, et la dérivée sera :

Il ne s'agit pas d'une dérivée de distribution, il s'agit d'une extension de la notion de dérivée d'une fonction, avec résultat dans l'ensemble des distributions plutôt que dans l'espace des fonctions. La justification mathématique pouvant se trouver (mais d'autres expliqueront cela mieux que moi) dans l'idée qu'une dérivée est liée à une forme linéaire et que l'ensemble des distributions est un dual d'un ensemble des fonctions (fonctions test).

[Tryss]

Si je souhaite dériver teta au sens des fonctions, j'aurai une intégrale nulle.

Attention a ce qui se passe quand on dérive au "sens classique" une fonction qui n'est que C^1 par morceaux, en prenant la fonction qui est égale presque partout à la dérivée classique, on perd le théorème fondamental de l'analyse et un paquet d'autres propriétés intéressantes.

La notion de "dérivée d'une distribution" est difficile et dangereuse, oui.

Non, au contraire, c'est très simple et naturel quand on a bien compris ce qu'était une distribution : La derivée U de T au sens des distributions est l'unique distribution qui vérifie



"Coup de bol" (qui rend cette définition intéressante), cette définition est compatible avec la définition usuelle de la dérivée pour les fonctions : c'est en fait la formule d'intégration par partie


Mais pour tout opérateur , il est logique de s'intéresser à l'opérateur défini (si c'est bien défini) par

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Non, au contraire, c'est très simple et naturel quand on a bien compris ce qu'était une distribution : La derivée U de T au sens des distributions est l'unique distribution qui vérifie

OK, mais comment appliquer cela à la distribution de Dirac? Cela donne



ce qui serait l'opposé de la distribution de Dirac appliqué à la dérivée ???

Il y a quelque chose que je n'ai pas pigé, là...

PS: En fait, non... C'est assez clair: la prise de dérivation est bien linéaire...

[Tryss]

Effectivement, la dérivée de la distribution de dirac est la distribution

Et, point intéressant qui découle de la définition, toutes les distributions sont infiniment dérivables. Par exemple la dérivée n-ième de la distribution de Dirac est la distribution

[stefjm]

La notion de "dérivée d'une distribution" est difficile et dangereuse, oui.

Pour moi, le point difficile est le fait qu'il faille faire attention à la valeur initiale lorsqu'on parle de fonction, en particulier lors des dérivées.
La transformée de Laplace de la dérivée d'une fonction f, c'est p.L(f)-f(0). (lié à l'intégration par partie évidement)

Alors que pour les distributions, la transformée de Laplace de la dérivée d'une distribution T, c'est tout simplement p.L(T).

[freemp]

Le sens est clair, parce qu'il y a une injection canonique de l'ensemble des fonctions vers les distributions. Ce n'est pas plus choquant qu'écrire a = b +2, avec a et b des réels et 2 un entier.

Pourquoi il y a injection canonique de l'ensemble des fonctions vers celui des distributions ?
Pour cela il faudrait que l'ensemble des fonctions soit inclus dans celui des distributions mais ce n'est pas le cas ??

Il ne s'agit pas d'une dérivée de distribution, il s'agit d'une extension de la notion de dérivée d'une fonction, avec résultat dans l'ensemble des distributions plutôt que dans l'espace des fonctions. La justification mathématique pouvant se trouver (mais d'autres expliqueront cela mieux que moi) dans l'idée qu'une dérivée est liée à une forme linéaire et que l'ensemble des distributions est un dual d'un ensemble des fonctions (fonctions test).

Hmm pour moi on applique bien la définition de la notion de dérivée des distributions pour faire apparaître le delta, on peut dire que c'est l'extension de la notion de dérivée d'une fonction si on veut, mais en toute rigueur on ne dérive pas du tout une fonction mais bien la distribution régulière associée à la fonction.

Ensuite j'ai lu vos messages mais à vrai dire je souhaiterai par exemple comprendre pourquoi la TF d'un dirac donne une fonction constante, ce qui est en accord avec la logique physique (signal court => large étalement en fréquence).
Je comprends le calcul mais je veux comprendre pourquoi on trouve comme résultat la bonne intuition physique sachant que le dirac n'est pas une fonction de haute amplitude très brève en toute rigueur puisque c'est une distribution.
C'est un hasard ? (je suppose que non)
Même question pour les TF de cosinus, pourquoi on trouve "comme par hasard" des diracs en leurs pulsations associées quand on fait le calcul de leurs TF.

[Tryss]

Pourquoi il y a injection canonique de l'ensemble des fonctions vers celui des distributions ?
Pour cela il faudrait que l'ensemble des fonctions soit inclus dans celui des distributions mais ce n'est pas le cas ??

Effectivement, ca n'est pas vrai pour toutes les fonctions. Il y néanmoins une injection canonique de l'ensemble des fonctions localement intégrable vers les distributions

[stefjm]

Pourquoi il y a injection canonique de l'ensemble des fonctions vers celui des distributions ?
Pour cela il faudrait que l'ensemble des fonctions soit inclus dans celui des distributions mais ce n'est pas le cas ??

On peut associer à une fonction f sa distribution régulière Tf (sous conditions...) et confondre f et Tf.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Distri...ques)#Exemples
Edit : croisement Tryss

Ensuite j'ai lu vos messages mais à vrai dire je souhaiterai par exemple comprendre pourquoi la TF d'un dirac donne une fonction constante, ce qui est en accord avec la logique physique (signal court => large étalement en fréquence).
Je comprends le calcul mais je veux comprendre pourquoi on trouve comme résultat la bonne intuition physique sachant que le dirac n'est pas une fonction de haute amplitude très brève en toute rigueur puisque c'est une distribution.
C'est un hasard ? (je suppose que non)
Même question pour les TF de cosinus, pourquoi on trouve "comme par hasard" des diracs en leurs pulsations associées quand on fait le calcul de leurs TF.

Une réponse possible à cela :
La transformée de Fourier utilise la sommation continue, de la même façon que la série de Fourier utilise la sommation discrete.
Le passage de l'un à l'autre par la distribution de dirac qui associe à la fonction sa valeur en 0 est assez naturel.

[freemp]

Pour l'injection canonique (même en faisant garde au caractère localement intégrable de f), j'avoue ne pas comprendre pourquoi il y en a bien une.
J'ai regardé la définition d'une injection canonique et en gros c'est un genre d'application identité (si l'espace de départ et celui d'arrivée sont identique c'est l'identité, et si l'espace d'arrivé est plus grand on peut plus dire que c'est l'identité à cause de la différence des espaces, mais en pratique on aura toujours f(x)=x donc c'est un genre d'identité quand même).

Alors de là je ne comprends pas comment on peut avoir injection canonique entre l'espace des fonctions et celui des distributions, car ça voudrait dire qu'il existe une fonction comme ceci :




Mais ceci n'a pas de sens puisqu'une fonction de L1 loc(R) n'est pas une forme linéaire de l'espace des fonctions C infini ?!!
Ce que j'ai écrit n'existe donc pas, donc je ne comprends pas comment on peut avoir une injection canonique entre les deux espaces.

En revanche je suis d'accord qu'on peut construire une bijection de l'ensemble des fonctions localement intégrables vers l'ensemble des distributions régulières (je suppose que deux fonctions égales p.p sont égales dans ce que je dis), mais je ne vois pas le lien avec la notion d'injection canonique (que j'ai très certainement mal comprise).


"Une réponse possible à cela :
La transformée de Fourier utilise la sommation continue, de la même façon que la série de Fourier utilise la sommation discrete.
Le passage de l'un à l'autre par la distribution de dirac qui associe à la fonction sa valeur en 0 est assez naturel."

J'avoue ne pas avoir compris là ou vous vouliez en venir.
Je suis d'accord qu'en mettant des diracs dans les intégrales on obtient des sommes discrètes mais je ne vois pas le lien avec ma question en fait.

Merci !!

[Amanuensis]

Mais ceci n'a pas de sens puisqu'une fonction de L1 loc(R) n'est pas une forme linéaire de l'espace des fonctions C infini ?!!

Injection ne veut pas dire "être", cela veut dire "associer à".

L'injection en question est ce qu'on présente en général en premier pour présenter les distributions. Voir par exemple: https://fr.wikipedia.org/wiki/Distri...3.A9es_de_base

(Avec la phrase en clair "On voit donc que l'on peut associer à une fonction intégrable f une forme linéaire continue sur l'espace des fonctions test. ")

[invite02232301]

Bonjour,
UNe injection canonique ca veut dire que tu as une injection et... qu'elle est canonique
Dit autrement ca veut dire que pour tout couple d'ouvert U et V de R^n, et une inclusion de V dans U (ou meme qqch de plus general), tu as un diagramme commutatif

où les fleches horizontales sont injectives.
Donc tu peux identifier brutalement une fonction (localement intégrable) à la distribution associée, sans autre forme de procés. Cette identification respecte la derivation sur les fonctions C1, comme l'a dit Tryss, c'est ce qui fait l'interet du sujet. Dériver au sens des distributions pour les fonctions derivables (bon et de dérivée continue quand meme) ou au sens des fonctions c'est la meme chose. Pour les fonctions (localement intégrables toujours) non dérivables, on peut quand meme les dériver au sens des distribution, et on obtiendra une distribution quelconque en general.

Pour le reste, je comprend pas ta question, qui semble demander pourquoi est ce que quand on calcule la transformée de Fourier on obtient... la transformée de Fourier? Mais j'ai quand meme l'impression que ce qui te manque c'est d'observer que la tranformée de Fourier est continue pour la topologie de schwartz sur les distributions tempérées.

[stefjm]

J'avoue ne pas avoir compris là ou vous vouliez en venir.
Je suis d'accord qu'en mettant des diracs dans les intégrales on obtient des sommes discrètes mais je ne vois pas le lien avec ma question en fait.

Comprends tu les séries de Fourier pour le cas d'une constante et d'un sinus? (C'est en principe évident par définition.)
Le spectre est discret.
Si on veut un spectre continu, y compris pour des fonctions constantes ou périodique, le passage par les distributions et la transformée de Fourier est obligatoire.

J'aime assez
https://books.google.fr/books?id=QeD...page&q&f=false
voir page 133, le passage discret-continu.

[freemp]

Salut !

Je n'ai pas le temps de répondre en détail maintenant, je le ferai ce soir notamment sur l'injection canonique (je suis au canada en stage c'est le matin pour moi).

J'aurai juste un exemple illustratif de mon incompréhension :

Prenons une vitesse :

v(t)=a*t²+d1(t)
d(t) est une discontinuité qui vaut +1 en t=1

Son accélération sera au sens des fonctions a(t)=2*a*t
Au sens des distributions :
On voit qu'au sens des fonctions on perd la notion de discontinuité en dérivant et pas au sens des distributions.
Je comprends "physiquement" la ligne précédente tant que je ne la détaille pas plus (voir ci dessous).
Soit.

Mais ce que j'ai du mal à voir c'est qu'au sens des distribs, l'accélération sera plus précisément :



Et c'est à ce passage là que je comprends mal, pour moi cette quantité ne répond pas du tout à notre problème.
Dire que l'accélération c'est : ça veut rien dire physiquement (on a une fonction phi et on sait pas ce qu'elle vaut notamment).

J'ai peut être une part de la réponse dans votre notion d'injection canonique mais je n'ai pas trop eu le temps de le lire en détail, je le lis ce soir et je vous écris de nouveau.
A bientôt !

[freemp]

En fait j'ai lu votre paragraphe sur l'injection canonique.

Donc ce que j'en déduis c'est qu'en pratique on se moque de ce que vaut phi de mon post précédent car on s'intéresse à l'application et pas à sa valeur en un phi donné.

Soit.

Alors ensuite bon si on travaille avec des distribs régulières pour moi tout est "licite" puisqu on a une bijection avec les fonctions localement intégrables (c'est un peu comme travailler avec des matrices quand on étudie une application linéaire tout est bijectif donc pas de problème).

En revanche des qu'on a un Dirac qui apparaît on a pas de correspondance avec les fonctions.

Néanmoins on sait que pour faire apparaître un Dirac on dérive une discontinuité.

Donc on arrive quand même plus ou moins à interpréter les Dirac même si on a pas vraiment de bijection avec une fonction.

Car on travaille avec les distributions mais en soit une distribution ne peut pas représenter en propre une grandeur physique (vu qu'elles prennent une fonction en paramètre), seules les fonctions le peuvent donc il faut toujours pouvoir retourner dans le monde des fonctions à un moment donné.

En fait je comprends le dirac quand c'est expliqué très grossièrement comme étant une fonction avec un gros pic, mais c'est des que j'essaie de bien faire le lien avec la théorie des distributions que j'ai du mal à comprendre.

[invite02232301]

Car on travaille avec les distributions mais en soit une distribution ne peut pas représenter en propre une grandeur physique (vu qu'elles prennent une fonction en paramètre), seules les fonctions le peuvent donc il faut toujours pouvoir retourner dans le monde des fonctions à un moment donné.

Au contraire, une ditribution represente bien mieux ce qu'est une mesure d'une grandeur physique, qu'une fonction. Tout simplement parce qu'une mesure n'est jamais ponctuelle. Ce que ton appareil de mesure mesure, c'est une mesure pondérée d'une situation qui a un étalement (c'est la ponderation et l'etalement de la fenetre de mesure de ton appareil qui correspond à la fonction test, contre laquelle tu évalue ta distribution). Donc non, il n'est pas du tout necessaire, et c'est meme bien moins naturel de retourner dans le monde des fonctions (ca ne veut pas dire que pour certains problemes, ce ne soit pas la régularité de la distribution qui soit importante (dans le cas d'EDP par exemple), et là, oui faut bien retrouver une fonction, mais une grandeur physique s'interprete tout aussi naturellement comme une distribution que comme une fonction).

[Tryss]

Car on travaille avec les distributions mais en soit une distribution ne peut pas représenter en propre une grandeur physique (vu qu'elles prennent une fonction en paramètre), seules les fonctions le peuvent donc il faut toujours pouvoir retourner dans le monde des fonctions à un moment donné.

La distribution peut représenter en propre une grandeur physique.... mais pour mesurer cette grandeur physique, il faut faire appel à un "appareil de mesure" : .


Edit : grillé par MiPaMa

[freemp]

Pour le cas de ce dont vous parlez avec la mesure je comprends, en gros phi représenterai l'instrument de mesure et dire qu'on mesure une pression en x0 par ex serait prendre une fonction phi qui a une bosse autour de x0 (la bosse permettant de moyenner la fonction autour de ce point).

Mais c'est une façon d'interpréter les distributions quand on s'intéresse à des mesures. Donc c'est plus lie à de la physique expérimentale non ?? En physique théorique où on ne s'intéresse pas à la présence d'instruments de mesures, le phi ne peut pas être interprété ?

Et comme je l'ai dit plus haut, si on travaille avec des distributions c'est parce que dans un certain nombre de cas on a une bijection avec une fonction (donc pas de pb) et dans les autres cas on a pas de bijection avec une fonction mais on arrive quand même à interpréter ça dans l'espace des fonctions (un dirac c'est la dérivée au sens des distributions d'un heaviside. Et le heaviside distribution est en bijection avec le heaviside fonction, donc on peut plus ou moins interpréter le dirac dans l'espace des fonctions)

Pourriez vous confirmer ou infirmer mon propos ?

(Desolé j'ai beaucoup de questions sur les distributions mais le pont entre la théorie maths et la physique est vraiment très flou pour moi et je ne suis pas super doué en maths non plus donc ça complique un peu le tout).

Thanksss

[invite02232301]

Pourriez vous confirmer ou infirmer mon propos ?

Ton propos n'est pas tres clair. Ca veut dire quoi par exemple avoir une bijection entre le "heaviside distribution" et le "heavside fonction".

Le point étant que l'introduction des distributions, enrichit le monde des fonctions, on possède ainsi beaucoup plus d'objets. En particulier certains concepts phyisique tres simple sont modélisés par des distributions qui ne sont pas des fonctions, par exemple une charge ponctuelle, c'est une distribution, pas une fonction, et en l'occurence un dirac en un point. De la meme manière une distribution surfacique de charge dans R^3, c'est une distribution qui n'est pas une fonction.

[Amanuensis]

Mais c'est une façon d'interpréter les distributions quand on s'intéresse à des mesures. Donc c'est plus lie à de la physique expérimentale non ?? En physique théorique où on ne s'intéresse pas à la présence d'instruments de mesures, le phi ne peut pas être interprété ?

Pardon??? Toute la physique s'intéresse aux instruments de mesure!

La physique est une science empirique, au sens où le critère de réfutation est l'observation. Une physique théorique parlant d'autre chose que mesurable en pratique n'est pas de la science, juste de la spéculation (ce qui ne la rend pas inintéressante au demeurant).

C'est peut-être d'ailleurs là où la physique quantique est une révolution: avant on parlait de "propriétés de objets", avec la PhyQ on parle d'observable, et les seules observables qu'on peut prendre en compte sont celles qui correspondent à des "instruments de mesure". C'est d'ailleurs une remarque intéressante qu'il existe bien plus d'observables qu'on peut construire mathématiquement (les opérateurs hermitiens), que celles qui correspondent à des "instruments de mesure".

(Au passage, un des usage des distributions de Dirac est de permettre des "vecteurs propres" à certaines observables, comme position ou vitesse...)

[freemp]

Ce que j'entends par bijection entre le heaviside fonction et le distribution c'est que c'est comme dire "je travaille avec la matrice M" pour travailler sur une application linéaire F.

On peut directement travailler avec F ou on peut travailler avec sa matrice car il y a une bijection entre les ensembles de matrice et les applications linéaires. Donc on peut à tout moment passer de l'une à l'autre des représentations.

J'ai un autre exemple.

Si je prends la fonction a*t^2/2. qui représente ma vitesse.

Je veux connaître ma vitesse à t=1 : pas de soucis avec une fonction il suffit de remplacer t par 1.

En revanche avec une distribution [at^2/2], le t n'est plus une variable je ne peux donc pas connaître ma vitesse au temps 1, la variable c'est désormais phi.
alors certes je pourrai moyenner autour de 1 ma vitesse en prenant un phi en cloche autour de 1, mais je n'aurai jamais ma vitesse théorique en t=1.

On voit donc bien ici que raisonner en distribution ou en fonction ce n'est pas équivalent ?!!

Donc je comprends pas comment on peut dire que les distributions elargissent la notion de fonction si on arrive pas à retrouver des grandeurs obtenues avec des fonctions ??!!

Car d'après ce que j'ai cru comprendre, plusieurs d'entre vous m'ont expliqués que les distributions étaient une généralisation des fonctions et qu'on pouvait dans les raisonnement raisonner tout le temps en distributions, mais avec mon exemple on voit qu'on ne peut pas retrouver tout le temps les résultats obtenus avec des fonctions ?

Sinon amanuensis, je ne suis pas tout à fait d'accord pour dire que toute la physique s'intéresse aux instruments de mesure (mais je me trompe peut etre).

Par exemple la force d'interaction de coulomb fait intervenir une distance "parfaite" au dénominateur, on se moque dans les modèles de connaître la précision qu'on a sur la mesure de r.

C'est après quand on met en pratique qu'on met les gardes fous (on utilise des outils statistiques ou autre). Une bonne partie des modèles physiques (pas tous) ne prennent pas en compte les précisions qu'on aura sur les instruments.
Enfin il me semble...

[lucas.gautheron]

Je ne parlerais pas de bijection.
Les fonctions f (un tant soit peu raisonnables) induisent une distribution (), c'est pour cela qu'on parle d'injection

en revanche deux fonctions f et g différentes peuvent induire la meme distribution si elles sont égales presque partout.
Et puis il y a des distributions qui ne peuvent pas s'écrire comme l'intégrale ci dessus.

A+

[freemp]

Re salut.

Bon je vais poser mes questions pas à pas de manière plus concise pour essayer d'y voir plus clair, je ne suis pas très clair dans mes questions.
Je vais commencer par la base : on dit qu'une fonction est injective si (f(x)=f(x')) => (x=x')
Maintenant vous me parliez tous d'injection "canonique", qu'est ce que le canonique veut dire.
Car j'avais trouvé cette définition :

"Soit E un ensemble et X une partie de E. L'injection canonique de X dans E est l'application qui à x de X associe x.

Par exemple, lorsque X = E, l'injection canonique n'est autre que l'application identité de E." sur https://fr.wikipedia.org/wiki/Injection_canonique

Il n'y a pas quelque chose qui cloche vu qu'ici ils disent qu'une injection canonique est forcément de la forme f : x ->x (c'est pour ça que je ne comprenais pas pourquoi il y avait injection canonique au début du post, X inclus dans E n'est pas possible dans le cas des distributions vu que l'ensemble des fonctions localement intégrable n'est pas inclus dans celui des distributions).

Mais en soit je suis d'accord avec vous sur le fait qu'il y a une injection de l'ensemble des fonctions localement intégrables vers celui des distributions en prenant la convention que si f=g pp on dit qu'elles sont identiques.

Je vais commencer par cette question et puis j'en poserai d'autre petit à petit histoire d'être plus clair (mais si qqun peut répondre à la question de mon précédent post sur le [a*t^2/2], je prends .

[Tryss]

Cette définition d'une injection canonique est limité au cas ou X est une partie de E. Mais on parle aussi d'injection canonique pour une injection naturelle entre deux ensembles.

Il y a par exemple une injection canonique : celle qui a chaque fonction continue fait correspondre sa classe d'équivalence pour la relation "égale presque partout".

Ou encore, quand on défini comme un ensemble de classes d'équivalence de suites de Cauchy de rationnels, on associe naturellement à chaque rationnel r la classe d'équivalence de la suite constante égale à r.

[Amanuensis]

Si je prends la fonction a*t^2/2. qui représente ma vitesse.

Je veux connaître ma vitesse à t=1 : pas de soucis avec une fonction il suffit de remplacer t par 1.

On peut voir cela comme une opération qui à une fonction associe un réel, sa valeur en 1. Cette opération, une fonction sur les fonctions, est linéaire. On a ainsi mathématisé l'idée "remplacer t par 1".

En revanche avec une distribution [at^2/2], le t n'est plus une variable je ne peux donc pas connaître ma vitesse au temps 1, la variable c'est désormais phi.
alors certes je pourrai moyenner autour de 1 ma vitesse en prenant un phi en cloche autour de 1, mais je n'aurai jamais ma vitesse théorique en t=1.

On va pouvoir le faire en raisonnant en termes d'opération. Le passage aux distributions doit être vu en relation avec le passage à un mode de pensée en termes d'opérateur sur un système, le remplacement de "telle propriété du système vaut tant" à "telle mesure du système est le résultat d'une opération appliquée au système".

Sinon amanuensis, je ne suis pas tout à fait d'accord pour dire que toute la physique s'intéresse aux instruments de mesure (mais je me trompe peut etre).

Par exemple la force d'interaction de coulomb fait intervenir une distance "parfaite" au dénominateur, on se moque dans les modèles de connaître la précision qu'on a sur la mesure de r.

C'est après quand on met en pratique qu'on met les gardes fous (on utilise des outils statistiques ou autre). Une bonne partie des modèles physiques (pas tous) ne prennent pas en compte les précisions qu'on aura sur les instruments.
Enfin il me semble...

Certes. Mais cela n'a rien à voir avec le point. Le point est que toute formule ne prend sens en physique que parce qu'on va l'introduire dans l'analyse de mesures pour prédire des mesures. Les formules "théoriques" correspondent au cas idéal d'instruments parfaits, certes, et l'imperfection doit être prise en compte séparément. Mais cela ne change pas le principe.

Par ailleurs, j'écrivais cela pour vous aider, pas pour polémiquer. Si vous ne le voyez pas comme ça, pas vraiment mon problème, je ne vais pas passer en mode débat pour vous convaincre.

[freemp]

Pour les injections canoniques, vous voulez dire que ce sont des injections entre deux ensembles quelconques (l'un n'est pas forcément inclus dans l'autre), mais ce sont des injections "naturelles" (naturelles dans quel sens, dans le sens "sans chercher compliquer" ou il y a un sens mathématique derrière ce mot ?).

Donc en gros c'est une injection "logique" entre deux ensembles.
Par exemple si on prend l'ensemble de toutes les matrices peu importe leur dimension comme espace d'arrivé, et l'espace des applications linéaires de dimension 2 comme espace de départ, on peut dire qu'il y a une injection canonique entre les deux ensembles car il est "naturel" d'associer une matrice 2x2 à une fonction linéaire de dimension 2.

Est-ce ce que vous vouliez dire ??

On peut voir cela comme une opération qui à une fonction associe un réel, sa valeur en 1. Cette opération, une fonction sur les fonctions, est linéaire. On a ainsi mathématisé l'idée "remplacer t par 1".



On va pouvoir le faire en raisonnant en termes d'opération. Le passage aux distributions doit être vu en relation avec le passage à un mode de pensée en termes d'opérateur sur un système, le remplacement de "telle propriété du système vaut tant" à "telle mesure du système est le résultat d'une opération appliquée au système".

Hmmm je ne suis pas sur de vous suivre. Vous dites qu'en gros en raisonnant sur les fonctions on pense plutôt du point de vue "la grandeur physique X vaut tant", alors qu'en raisonnant sur les distributions, on ne se demande pas ce que vaut la grandeur physique, mais on se demande "quel sera le résultat d'une mesure", sachant qu'une mesure est associée à une fonction phi ?
C'est ce que vous vouliez dire ???

Thanks !!

[invite02232301]

Ce que j'entends par bijection entre le heaviside fonction et le distribution c'est que c'est comme dire "je travaille avec la matrice M" pour travailler sur une application linéaire F.

Dans le genre pas tres clair encore

En revanche avec une distribution [at^2/2], le t n'est plus une variable je ne peux donc pas connaître ma vitesse au temps 1, la variable c'est désormais phi.
alors certes je pourrai moyenner autour de 1 ma vitesse en prenant un phi en cloche autour de 1, mais je n'aurai jamais ma vitesse théorique en t=1.

On voit donc bien ici que raisonner en distribution ou en fonction ce n'est pas équivalent ?!!

Ce n'est pas parce que les distributions sont une generalisation des fonctions, que toutes les operations sur les fonctions gardent un sens quand on les voit comme distributions. On ne peut plus evaluer une distribution en un point certes. C'est deja le cas avec les elements de L^1 je te fais remarquer, si f est une element de L1, alors f(x) n'a aucun sens.
Le point est que les distributions gardent suffisament des aspects des fonctions, les aspects interessants en tout cas. Et dans ce cadre là, le "but" interessant des fonctions, c'est d'etre des solutions d'EDP.

Car d'après ce que j'ai cru comprendre, plusieurs d'entre vous m'ont expliqués que les distributions étaient une généralisation des fonctions et qu'on pouvait dans les raisonnement raisonner tout le temps en distributions, mais avec mon exemple on voit qu'on ne peut pas retrouver tout le temps les résultats obtenus avec des fonctions ?

Encore une fois, qu'est ce que ca veut dire "raisonner en distribution". Tu gagnerais beaucoup à augmenter la precision de ton langage. Notamment parce que ca te permettrait d'y voir toi meme, moins flou.

Pour l'injection canonique/naturelle/fonctorielle, je t'ai dit plus haut ce que le canonique/naturel/fonctoriel (ces mots sont synonymes) signifiait.

Dit autrement ca veut dire que pour tout couple d'ouvert U et V de R^n, et une inclusion de V dans U (ou meme qqch de plus general), tu as un diagramme commutatif

où les fleches horizontales sont injectives.

Mais en un sens heuristique, ca veut dire que cette injection ne depend d'aucun choix et emerge naturellement.
La discussion n'est pas sur l'emploi du mot canonique, mais il veut toujours dire soit fonctoriel (pour un morphisme notamment) soit qu'il est la coünité du représentant d'un foncteur (ou d'une adjonction) (comme la base canonique de R^n). Mais encore une fois heuristiquement ca veut dire "evident" ou "tautologique" ou "le seul auquel on peut penser".

[freemp]

Salut.

Pour mon exemple d'application linéaire et de matrice bah je veux juste dire qu'une matrice est une représentation d'une application linéaire donc on peut travailler avec la matrice pour obtenir des propriétés sur l'application linéaire.
y a t il "d'une certaine manière" la même logique entre une fonction et sa distribution régulière associée ?

Pourquoi si f est un élément de L1 f(x) n'as pas de sens ??

On est pas obligé de vouloir intégrer sur R la fonction (dans ce cas ce serait |f(x)| qui aurait du sens si c'était ce que vous vouliez dire).

Quand je dis raisonner en distribution j'entends par là construire une théorie physique dans laquelle l'outil de modélisation utilisé est les distributions.

Par exemple dans les lois de newton enseignées aux lycée (PFD), l'outil de modélisation ce sont les fonctions.

Car des deux côtés du signe égal on a des fonctions.

Après on peut sûrement ré écrire le modèle avec des distributions (il faut peut être juste remplacer les fonctions par leurs distributions associées, ça change peut être "plus de choses" je sais pas (et c'est une des choses qui me pose le plus de problème ici !)

Concernant ton graph en fait je ne l'avais pas bien compris ...!

Quand tu dis diagramme commutatif qu'est ce qui commute avec quoi ?
Que représentent les flèches verticales, des surjections ?

Merci :/

[Tryss]

Pourquoi si f est un élément de L1 f(x) n'as pas de sens ??

Parce que les éléments de L^1 sont des classes d'équivalence de fonctions qui sont égales presque partout. Presque partout et donc pas forcément sur le x auquel tu évalue la fonction. Donc si tu as un élément f de L^1 et u et v deux de ses représentants, tu n'a pas forcément u(x) = v(x), donc pas moyen de définir f(x)