De rouille et de dos

[kalish]

Bonjour, on me demande d'intégrer une gaussienne entre et, avec

On nous dit pour ça d'utiliser le fait que ,bon, je n'ai pas vu immédiatement qu'en fait il fallait plutôt faire , et je ne le vois qu'aujourd'hui.

Dans ce cas là, une intégration par partie permet de faire
et on peut recommencer le même type de manipulations pour l'intégrale qui reste, on obtient une série de puissance négatives en t.

Ma question: on nous précise que c'est quand x tend vers moins l'infini, est-ce que ce développement n'est pas valable jusqu'à x qui tend vers -1 en continuant encore et encore à développer? de même quand x entre 0 et -1 n'est il pas possible d'en appeler à une série en puissance de t positives?

Est-ce que ce sont ces développements qui permettent aux calculatrices de calculer des gaussiennes?
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[kalish]

pardon c'est

[CM63]

Bonjour,

Cela m'étonnerait que l'on puisse calculer cette intégrale de cette façon, je m'y suis cassé les dents plusieurs années quand j'étais jeune. A ma connaissance on ne peut calculer cette intégrale qu'en passant par une intégrale double, mais les as-tu vues en cours?

A plus

[kalish]

il ne s'agit pas d'une intégrale de - l'infini à + l'infini, comme je l'ai précisé dans le deuxième post j'ai oublié un petit signe, il s'agit d'une intégrale de - l'infini à x, quand x tend vers - l'infini. L'intégrale double avec le changement de variable (passage en coordonnées polaires) est utile uniquement pour intégrer de - l'infini à + l'infini.

[A voir en vidéo sur Futura]

[CM63]

Ah oui autant pour moi. Mais en fait le résultat c'est Erf(x) et il est connu que cette fonction ne peut s'exprimer en fonction des fonctions usuelles (que de "fonctions" ) .

[CM63]

Quand l'intégrale est nulle, non?

[kalish]

oui mais non, on en veut un infini moins grand que l'infini, il s'agit d'un développement, et justement la question est: peut-on pousser ce développement jusqu'à -1, et le fait on en calcul (en numérique plutôt)? Puisque a priori la série converge tant que x<-1 .

[CM63]

J'entrevois la question, il faut exprimer l'intégrale sous la forme d'une série qui serait convergente si -1<x<0, et pour -oo<x<-1 il faut intégrer différemment et trouver une autre série qui serait convergente dans cet intervalle.
Je n'ai pas le temps d'approfondir mais normalement en faisant attention dans les intégrations par parties tu devrais trouver

[kalish]

ben c'est bon j'ai trouvé, je veux savoir si c'est ce qui est utilisé dans les calculs, cad numériquement, parce que sinon, je peux toujours utiliser undéveloppement en série entière, puis intégrer. Il manque aussi un facteur 1/sqrt(2 pi) dans le premier post.

[CM63]

Bravo! Mais en ce qui concerne les calculateurs, je ne sais pas comment ils font , si ils utilisent des séries entières ou des polynômes pour cette intégrale, c'est une bonne question.
Tu noteras d'autre part que dans ton calcul d'intégrales par parties, l'intégrale qu'il reste peu être majorée, d'une intégration par parties à l'autre. Mais au bout du compte je ne sais pas comment ils font numériquement, recherche peut-être dans Wikipedia

[CM63]

Autant pour moi "série entières" ou "polynômes" c'est la même chose, j'avais compris "éléments simples".

[CM63]

Numériquement ils utilisent peut-être les polynômes orthogonaux sur [-oo,+oo] par rapport au produit scalaire défini avec , je ne sais plus leur nom.