Problème primitive

[Solyana]

Bonjour tout le monde,

C'est mon premier message ici donc déjà bravo pour ce forum, j'y trouve beaucoup d'infos et surtout j'y apprends plein de choses des réponses aux divers problèmes des utilisateurs! Merci!

Si je viens aujourd'hui c'est pour vous parler d'un soucis de primitive que je n'arrive pas à résoudre. En effet, j'ai la fonction suivante:

f(x)=(e^(3x)+e^x)/(e^(2x)+e^x+2), que je dois intégrer et dont je dois trouver une primitive. J'ai donc tout de suite pensé à associer cette fonction à une dérivée de type u'/u afin de l'intégrer facilement. J'aurais alors:

u=e^(2x)+e^x+2 et u'=2*e^(2x)+e^x

Je me suis donc dit que je devais faire apparaître le terme 2*e^(2x) au numérateur afin de retomber sur cette forme u'/u, mais je n'y parviens pas. J'arrive à faire apparaître le terme grâce à:

e^(3x)=e^x*e^(2x)=1/2*e^x * 2*e^(2x)

Mais pas moyen de dissocier les deux termes ensuite. Est-ce que j'utilise la bonne méthode? Ou devrais-je plutôt partir sur une primitive du type u/v par exemple? Toute info sera la bienvenue pour m'aiguiller dans la résolution et la compréhension du problème!

Merci d'avance pour vos réponses!
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[Pixin]

Je suis un peu rouillé niveau math, mais un petit changement de variable ne me semblerait pas invraisemblable, après tu te retrouves avec plein d'expressions polynomiales, et tu n'as sans doute plus qu'à faire des intégrations par parties à foison !
Il y a peut-être un raccourci mais cette méthode me semble sûre, et ça entraine !

Pixin.

[CARAC8B10]

Bonsoir,
Changement de variable




En posant :


et :

etc ...

[CARAC8B10]

Merci de corriger mon erreur en ligne 3 :

et non

[A voir en vidéo sur Futura]

[Solyana]

Ok donc changement de variable puis éléments simples Merci beaucoup pour votre aide!

[Titiou64]

Bonjour,

Il y'aurait pas une erreur au numérateur (u^3+u)?

[Pixin]

Non non, le changement de variable fait apparaitre un , qui se simplifie.

Après est-ce que poser le est bien nécessaire, sachant qu'avec ta factorisation, on voit directement apparaître (moyennant une multiplication par un réel), quelque chose de la forme , qui se primitive facilement.

Pixin.

[CARAC8B10]

Salut Pixin,
Je ne vois pas bien ce que tu suggères. Peux-tu expliciter ton calcul ?

[Pixin]

Bonjour,
je dis juste que se calcule assez facilement.
En effet, .
Soit directement .

Voilà, j'espère avoir été assez clair !

Pixin.

[red17]

Le changement de variable en tangente alpha est bien pensé.
On peut aussi intégrer le tout en arctangente :

Soit a,b,c trois réel.
On considère l'équation , de discriminant

Si D est positif ou nul, on peut intégrer comme une fraction rationnel qu'on décompose au préalable en élément simple.

Si D est strictement négatif, intégrer revient à intégrer :


Où :


Puis on obtient une arctangente ...

EDIT :
Oups, Pixin a été plus rapide que moi

[Pixin]

Par contre le changement de variable en tangente, je trouve ça joli et je ne l'avais jamais vu, merci pour ça !

Pixin.