Question Algèbre linéaire / matrice

[ayoubcns]

Bonjour,

Je suis nouveau ici et j'aimerais savoir comment commencer pour résoudre cet exercice d'algèbre linéaire:

On considère le plan 2x+y-z = 0 et la droite d x=-y=z/3.
On appelle f la symétrie par rapport à \alpha parallèlement à d.

(a) Calculer, en fonction des coordonnées d'un point P, les coordonnées X' de son image f(P).
(b) Montrer qu'il existe une matrice M telle que X'=MX
(c) Calculer les valeurs propres et les espaces propres de M ; interprétez géométriquement.

Le (c) je sais le faire si je connais M si vous pouvez m'éclairer sur le (a) et le (b) svp.

Merci de votre aide
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[theguitarist]

Salut !

Il y a plusieurs manières de faire. Par exemple, pour n'en donner que deux :

- Soit tu décomposes le vecteur identifié par le point P dans la somme directe des espaces définis par ton plan et ta droite, autrement dit: X=X1+X2 avec X1 un vecteur engendré par un vecteur directeur de ta droite (mettons qu'il s'appelle D), et X2 dans le plan. Ainsi, f(X) = X1-X2.
Le plus simple serait de se dire que X1 = k*D, il s'agit donc de trouver k. L'obtention de X1 donne aisément X2, et donc f(X)

- Soit tu trouves l'image d'une base, typiquement celle de la base canonique, afin d'obtenir M. Mais cela reviendrait à intervertir les questions b) et a)...

Quentin

[ayoubcns]

Merci Quentin j'ai tout compris