Primitive de fonction rationnelle

[Florent_C]

Bonjour,

Je dois calculer une primitive de la fonction

J'ai bien essayé une décomposition en éléments simples, mais passé les calculs très désagréables, le résultat ne m'aide pas du tout.

Si vous pouviez m'aider, je vous remercie d'avance
-----

[Seirios]

Bonjour,

Quelle est la décomposition en éléments simples que tu as trouvée ?

[Florent_C]

La décomposition est bonne, mais elle ne m'aide pas trop pour la primitive :/

[gg0]

Bonjour.

Tu n'as pas appris à intégrer les éléments simples ?
La première fraction a une primitive très simple (niveau fin de lycée). Dans la deuxième, on peut faire apparaître la dérivée du dénominateur, et décomposer en deux fractions dont l'une est de la forme U'/U. Pour l'autre, voir un cours; voir aussi un cours pour la deuxième.

Bon apprentissage.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Florent_C]

Au temps pour moi, je vous ai oublié le (x + 2) en facteur, la vraie décomposition est :



Et là tout de suite, c'est quand même moins évident.

[Resartus]

La décomposition n'est pas bonne! On peut arriver à une constante en numérateur sur le x-1 et un polynome du premier degré sur les (x2-4x+6).

[gg0]

Pourquoi ne pas avoir décomposé en éléments simples l'intégrale initiale ? Ce n'était pas plus compliqué !

[Florent_C]

Je ne sais pas pourquoi je n'ai pas fait la bonne décomposition, à vrai dire je me suis totalement paumé dans mon fouillis de calculs.
Merci quand même de m'avoir aidé.

[OY1951]

Bonjour Florent_C ,

La décomposition de la fraction peut être mené au moyen de la méthode
d'O.R. comme suite :

On effectue d'abord le changement suivant x=t+1 et cela donnera

(t+3)/[t(t^2-2t+3)^2]

et on lance l'opération de décomposition comme suite

......0........1....*....3.... ....****....3
.....-1........3....*....1........** **....2
....-1/3....2/3...*...1/3......****...-1

et donc ma décomposition est :

(t+3)/[t(t^2-2t+3)^2] = (1/3)/t + [2/3-t/3]/[t^2-2t+3] + [3-t]/[t^2-2t+3]^2

soit en revenant à la variable x

(x+2)/[(x-1)(x^2-4x+6)^2]=(1/3)/(x-1)+(1-x/3)/(x^2-4x+6)+(4-x)/(x^2-4x+6)^2

Je vous assure que cette décomposition je l'ai réalisé en moins de cinq minute
sur un tableau blanc.
Pour la suite , il suffit de suivre les voies proposées par M. gg0.

Cordialement.

[OY1951]

Bonjour Florent_C ,

La décomposition de la fraction peut être mené au moyen de la méthode
d'O.R. comme suite :

On effectue d'abord le changement suivant x=t+1 et cela donnera

(t+3)/[t(t^2-2t+3)^2]

et on lance l'opération de décomposition comme suite

......0........1....*....3.... ....****....3
.....-1........3....*....1........** **....2
....-1/3....2/3...*...1/3......****...-1

et donc ma décomposition est :

(t+3)/[t(t^2-2t+3)^2] = (1/3)/t + [2/3-t/3]/[t^2-2t+3] + [3-t]/[t^2-2t+3]^2

soit en revenant à la variable x

(x+2)/[(x-1)(x^2-4x+6)^2]=(1/3)/(x-1)+(1-x/3)/(x^2-4x+6)+(4-x)/(x^2-4x+6)^2

Je vous assure que cette décomposition je l'ai réalisé en moins de cinq minutes
sur un tableau blanc.
Pour la suite , il suffit de suivre les voies proposées par M. gg0.

Cordialement.