Echelonnement d'une matrice

[Magnetika]

Bonjour,

J'aimerais par exemple échelonner en colonnes la matrice
1 1 2
0 1 1
2-1 1

Je peux échanger la colonne 1 et 2 donc

1 1 2
1 0 1
-1 2 1

Et maintenant, ais-je le droit d'échanger les lignes 1 et 2 puis d'effectuer ensuite des opérations élémentaires sur les colonnes ?
Je trouve bel et bien une matrice de rang 2 au final

1 0 0
1 1 0
-12 0

Ma question étant de savoir si on a le droit d'alterner opérations sur les colonnes, puis lignes ou du moment qu'on choisit d'échelonner en colonnes on est obligé de faire uniquement des opérations en colonnes ?

Merci
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[CM63]

Bonjour,

Si tu fais des opérations sur les colonnes, cela entraine un changement de variables du système d'équations associé, alors que si tu ne fais que des opérations sur les lignes, il n'y a pas de changement de variable. Et on peut très bien trianguler (je suppose que c'est ce que vous appelez "échelonner") une matrice en ne travaillant que sur les lignes.

A plus.

[Magnetika]

En fait, la matrice de départ est la matrice associée à une application linéaire et je dois trouver une base de l'image. Donc je crois que je suis obligé d'échelonner en colonnes a priori (la base sera formée par les 2 vecteurs colonnes non nuls)

Donc je ne sais pas si ce que j'ai fait est réglementaire ou pas (échanger les colonnes puis échanger les lignes)

[sylvainc2]

Si tu fais des opérations sur les lignes, tu vas probablement changer les vecteurs d'une base de Im(A). Si Im(A)=R^3 c'est pas grave, mais si dim(Im(a))=2 comme c'est le cas ici, alors oui c'est grave. D'ailleurs tu peux le vérifier toi-même: tu dis que (1,1,-1),(0,1,2) forment une base de Im(A). Alors essaie d'écrire la colonne 1 comme une combinaison linéaire: (1,0,2)=a(1,1,-1) + b(0,1,2). Ca marche pas, parce que (0,1,2) n'est pas dans Im(A) (mais (1,1,-1) l'est).

Ca dépend de la question: si on demande de calculer le rang, alors tu peux mélanger allègrement les opérations sur lignes et colonnes, comme tu l'as fait ici. Mais si on demande une base de l'image, il vaut mieux se limiter aux colonnes.

Autre chose: les permutations sur les colonnes peuvent modifier les vecteurs du noyau.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Magnetika]

Merci Sylvain pour l'explication.

J'avais remarqué en effet que pour le calcul du rang, il y a aucun risque à mélanger, ça fonctionne toujours.
Pour la base de l'image, je me limiterai aux colonnes.