suite convergente

[mona123]

bonjour ,pouvez vous m'aider à resoudre ce probleme:
soit S c R un domaine borné non vide .Montrer qu'il exist deux suite monotone {xn} et {yn} telque xn,yn ∈ S pour tout n et sup S= lim xn et
inf S=lim yn

j'ai essayé de résoudre l'exercice voici ce que j'ai pu faire:
on note a=sup S et b=inf S
en écrivant la définition de la borne sup on obtient:
pour tout n dans N il exist xn dans S telque :
a-1/n< = xn< a
donc lim xn=a
mais le probleme est que cette suite n'est pas croissante.
pouvez vous m'aidez s'il vous plait.
merci en avance
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[Resartus]

1) Pour être exhaustif, il serait prudent de traiter d'abord le cas trivial où a (ou b) appartiennent à S.
2) Dans le cas intéressant où a n'appartient pas à S, pour être sûr que xn+1 est supérieur à Xn, il suffit d'appliquer le raisonnement en prenant à chaque fois (a-xn)/2 par exemple au lieu de 1/n

[invite52487760]

Bonjour,

Pour que ton suite soit croissante, et par l'axiome de choix, tu "choisis" : pour tout . est effectivement croissante, il suffit d'établir qu'elle convergente vers . En d'autres termes, tu établis que pour tout voisinage qui contient , il contient un de ces intervalles et donc, contient un .

Cordialement.

[imoca]

Utilise le théorème de Bolzano-Weierstrass.

[A voir en vidéo sur Futura]