Equations d'une chainette "chargée" du/dx = Cste1 + Cste2 cosh(u)

[apap]

Bonjour,
(j'avais mis ce post dans la rubrique "math du secondaire", mais cela reève plus du supérieur)

Je m'intéresse à un arc en pierre 'idéal', et qui a donc la forme d'une chainette afin qu'il ne subisse aucune torsion.
Dans le calcul d'une chaînette simple, on fait certes l'hypothèse que la chaine a un poids, mais on ne cherche pas à augmenter la section de la chaine afin qu'elle puisse résister à la traction (ou à la compression, selon le sens dans lequel on met cette chainette / tete en haut ou tete en bas).

J'aimerais donc avoir votre avis et votre aide pour faire certains calculs (seule la partie B me pose probleme, la partie A ne sert qu'à se rappeler le calcul classique d'une chainette) :

Partie A :
Dans le cas d'un arc "simple" pour lequel on néglige le risque d'écrasement de l'arc près de la base, on tombe sur les équations de la chainette du style :
y'' = - w0/Tx0 √(1 + y'²) (w0 = rho * S0 * g avec rho = masse volumique de la pierre, g = 9,81, S0 = la section de l'arc en m²)

un premier changement de variable u = y' nous donne :
u’ = - w0/Tx0 √(1 + u²)

puis un autre changement de variable u = sinh(v) permet de retrouver les formules :
y' = sinh(-x/a) avec a = w0 / T0 (T0 étant la tension horizontale en Newton)
y = - a ( cosh(-x/a) - 1 )

Partie B (la seule qui me pose probleme) :
Si j'indique que la section S0 de mon arc doit maintenant augmenter pour prendre en charge l'augmentation du poids de l'arc, je dis que :
S = S0 + T / k avec k représentant un coefficient d'écrasement en N/m² (la section doit faire en sorte qu'on ne risque pas que la tension T écrase et effrite l'arc)

Je tombe alors sur une équation qui ressemble à la première, mais avec un terme en plus :
y'' = - w0/Tx0 √(1 + y'²) - w0 /(k S0) * ( 1 + y'²) d'où un changement de variable y' = u)
u’ = - w0/Tx0 √(1 + u²) - w0 /(k S0) * ( 1 + u²) (puis un 2nd changement u = cosh(v)
v' * cosh(v) = - w0/Tx0 cosh(v) - w0 /(k S0) * cosh²(v) (et on simplifie)
v' = - w0/Tx0 - w0 /(k S0) * cosh(v)

et là, j'ai l'impression qu'on devrait pouvoir trouver une solution, mais je n'y arrive pas... je me fais des noeuds, car ce n'est pas une expression du type : y' = Cste1 + Cste2 cosh(x) (facile), mais c'est du style : v' = Cste1 + Cste2 cosh(v) avec v =une fonction de x = v(x) et v' = dv/dx

Merci à l'avance pour votre aide...
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[Médiat]

Bonjour,

L'équation v' = Cste1 + Cste2 cosh(v), peut se résoudre sans Cste1, mais l'expression n'est pas simple, et utiliser la méthode de variation de la constante est sans doute un peu lourd, mais cela vaut peut-être le coup d'essayer...

[apap]

Merci pour cette réponse, qui m'a incité à aller plus loin alors que j'étais dans le brouillard...

En fait, pour la partie B, il fallait traiter les 2 parties de mon équation séparément :
* le 1ièr terme, correspondant à la chainette classique, était déjà traité dans la partie A, et se résoud en :
y = - a ( cosh(-x/a) - 1 )

* le 2nd terme est alors : (avec y' = u et b = k*S0/w0 )
u’ = - w0 /(k S0) * ( 1 + u²) = - 1/b (1 + u² )
ce qui donne :
arctgt ( u ) = -1/b * x + 0 (on choisit la constante =0 )
soit : u = tgt( - x/b )

on reprend u = y'
y' = tgt( - x/b ) qui s'intègre en :
y = - (-b) * Ln| cos( - x/b ) | + Cste
y = b * Ln| cos( - x/b ) | (on choisit Cste = 0)


Finalement, l'équation de ma "chainette" (arc dont on fait varier la section, et donc la masse linéique, afin que les bases de l'arc ne s'effritent pas sous le poids), devient :
y = - a ( cosh(-x/a) - 1 ) + b * Ln| cos( - x/b ) |
avec a = Tx0 / w0 et b = k * S0 / w0
w0 = rho * S0 * g
Tx0 : composante de la tension horizontale, qui est constante
S0 = section de l'arc au sommet (en m²)
k = coefficient d'ecrasement du matériau (en Newton/m²)
rho = masse volumique du matériau utilisé pour l'arc
g = 9,81 m/s²

J'ai mis ces équations dans un tableur excel, et cela donne des courbes qui me semblent vraisemblables... mais cela demanderait à etre validé...