Théorème de factorisation

invite52487760 · 06/10/2015, 14h39

Bonjour à tous,

Soient deux ensembles $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ munis de relation d'équivalences : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Une fonction $\text{[math]}$ passe au quotient si : $\text{[math]}$ .
Cela permet de définir la fonction : $\text{[math]}$ qui à $\text{[math]}$ associe $\text{[math]}$ .

Ma question est :

Quant est ce que : $\text{[math]}$ est bijective.
Auriez vous un cours qui parle largement de ce sujet surtout de la démonstration de ce théorème ?

Merci d'avance.

**Seirios** · 06/10/2015, 17h21

Bonjour,

Si tu ne fais aucune hypothèse sur $\text{[math]}$ , il n'y a aucune raison pour que $\text{[math]}$ soit bijective. Par exemple, prends une fonction qui n'est pas bijective, puis l'égalité pour relation d'équivalence...

Je ne crois pas qu'il y ait vraiment de référence sur le sujet, c'est de la théorie des ensembles basiques, que l'on peut sans doute trouver dans des cours de première année.

invite52487760 · 06/10/2015, 17h41

Bonjour Seirios :

D'abord, je vous remercie pour votre réponse.

Alors, pour que $\text{[math]}$ soit bijective, il faut et il suffit que $\text{[math]}$ soit bijective, non ?

A part, le cas trivial, où les relations d'équivalences sont remplacés par des égalités, connaissez vous, un autre exemple un peu plus compliqué avec des relations d'équivalences un peu compliquéés, qui permettent de donner un tel diagramme ?

En d'autres termes, est ce qu'il y'a par exemple des exemples d'applications : $\text{[math]}$ qui induisent des bijections : $\text{[math]}$ ( J'imagine que, à cause de l'ordre de chacun de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , il ne peut pas y avoir de bijection ). Le seul cas où il peut y avoir bijection est quant ça induit un morphisme : $\text{[math]}$ , mais, je ne sais pas si dans ce cas là $\text{[math]}$ est trivial aussi, c'est à dire, égale à l'identité.

Cordialement.

Edit : Voiçi la vrai question qui me taraude : http://math.stackexchange.com/questi...notion-of-fact

**Tryss2** · 06/10/2015, 18h03

Non, il n'est pas nécessaire que f soit bijective pour que $\text{[math]}$ le soit. $\text{[math]}$ est toujours injective... Peux tu le prouver?

Maintenant, on peut se demander si $\text{[math]}$ bijective est équivalent à f surjective.

Il est clair que f surjective implique $\text{[math]}$ surjective (peut tu le prouver ? ), donc $\text{[math]}$ est bijective si f est surjective, mais est-ce une condition nécessaire?

La réponse est non :

Soit E = [| 1, n |], muni de la relation d'équivalence égalité
Soit F = [| 1, 2n |], muni de la relation d'équivalence associée à la partition $\text{[math]}$

et soit f définie par f(k) = 2k.

Alors f n'est pas surjective, mais $\text{[math]}$ est bijective

Je penses que tu devrais franchement travailler plus sur les bases, avant de faire des trucs compliqués. Là c'est une question niveau L1 de maths... après tu fait comme tu veux, mais vouloir jouer une symphonie sans savoir faire ses gammes, c'est un peu voué à l'échec

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azizovsky · 06/10/2015, 18h22

Bonjour, il y'a la factorisation des applications:

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%..._factorisation

la bijectivité de $\text{[math]}$ est équivalente à la surjectivité de $\text{[math]}$ .

invite52487760 · 06/10/2015, 18h24

Merci Tryss, oui, je sais qu'il faut que je revois les bases, mais, cela remonte à très longtemps que je ne manie pas ce genre d'objets. Alors, c'est normal que je finis par les oublier.

Pour l'injectivité de $\text{[math]}$ , je pense qu'il suffit de remarquer ceci :
$\text{[math]}$

Mais, ça ne répond pas à mes questions que j'ai posé.

Edit : Merci azizovsky pour ta participation.

azizovsky · 06/10/2015, 18h30

j'ai oublié un ET.... avec la sujectivité de $\text{[math]}$ .

p

azizovsky · 06/10/2015, 19h17

Bonsoir, non il ne faut pas oublié

, il y'a un certain temps que j'ai commencé à relire des livres d'algèbre: introduction à l'algèbre de A.Kostrikin, algèbre et théorie des nombres de L.Koulikov,et ..... seulement pour savoir est ce qu'il est possible d'introduire une norme Minkowskienne sur les nombre

.

**Tryss2** · 06/10/2015, 19h43

Envoyé par azizovsky

Bonjour, il y'a la factorisation des applications:

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%..._factorisation

la bijectivité de $\text{[math]}$ est équivalente à la surjectivité de $\text{[math]}$ .

Sauf que ce théorème ne s'applique pas ici, puisqu'il veut quotienter à la fois l'ensemble de départ et celui d'arrivée (alors que le théorème ne quotiente que l'ensemble de départ). cf plus haut mon exemple d'une application f qui n'est pas surjective qui induit un $\text{[math]}$ bijectif.

azizovsky · 06/10/2015, 20h42

Bonsoir Tryss2, oui, je me suis rendu compte après

ça ne répond pas à mes questions que j'ai posé

, pour le moment je ne vois pas d'intérêt algébrique d'un tel application car le ker f quand il n'est pas réduit à l'élément neutre pour les groupe définissent les groupes distingués et les idéaux pour les annaux qui leurs présences...

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