Tirer n fois un objet parmi n avec remise

[Médiat]

Bonjour,

Suite à un fil fermé à juste titre, je me suis posé la question suivante :
On dispose d'une urne contenant n jetons numérotés de 1 à n; on tire 1 jeton de cet urne, puis on le replace dans l'urne, n fois de suite.

Quelle est l'espérance mathématique de la variable X = nombre de N° différents apparus lors des n tirages.

Je n'ai trouvé que des formules compliquées (avec des nombres de Stirling de seconde espèce), et n'ai trouvé la limite qu'expérimentalement, si quelqu'un peut faire mieux (ne serait-ce qu'une démonstration pour l'équivalent) :


-----

[Mct92mct]

Bonjour, ça à l'air de bien fonctionner!
pour 37 numéros de la roulette, on est pas loin du tout de la fameuse règle du 1/3 exclus...

[Qui]

Bonjour,

Je me suis intéressé au problème, n=37, étudier Ma=max(X_i,i=1..1000) et Mi=min(X_i,i=1..1000) avec les variables X_i indépendantes.
D'après mes expériences, Ma<=31 et Mi>=16, sur un totale de 1000 essais environs.

[Qui]

Bonjour,

Je me suis intéressé au problème, n=37, étudier Ma=max(X_i,i=1..1000) et Mi=min(X_i,i=1..1000) avec les variables X_i indépendantes.
D'après mes expériences, Ma<=31 et Mi>=16, sur un totale de 1000 essais environs.

Mais même en supposant que X=30 tous le temps par exemple, je doute de l'existence d'une stratégie qui permette de faire d'un joueur de roulette un professionnel.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Mais même en supposant que X=30 tous le temps par exemple, je doute de l'existence d'une stratégie qui permette de faire d'un joueur de roulette un professionnel.

Ce fil n'a rien à voir avec la roulette et encore moins avec la réouverture d'un fil fermé ! Le seul sujet ici est mathématique.

[Qui]

Ce fil n'a rien à voir avec la roulette et encore moins avec la réouverture d'un fil fermé ! Le seul sujet ici est mathématique.

Je parlais d'une stratégie computable, de toutes les façons c'est ton sujet, je semble hors sujet, donc je sors.

[Mct92mct]

Le problème de départ, c'est de calculer le nombre de manières de tirer N n° au hasard parmi N n°
rien que ça... c'est pas facile...

[Médiat]

Bonjour,

J'ai déplacé ce fil de Sciences ludiques à Mathématiques du supérieur, car ce n'est plus vraiment ludique


Le document suivant contient la démonstration des résultats du message #1, plus un calcul direct de l'espérance.

Comme sous-produit de ces démonstrations, le Corollaire 2 présente deux résultats concernant les nombres de Stirling de seconde espèce, qui m'étaient inconnus (pas trouvés sur le net), peut-être ces résultats sont-ils originaux, peut-être pas, si quelqu'un les connait par ailleurs, je suis intéressé par des références.

stirling.pdf

Bonne lecture et merci de vos critiques.

[joel_5632]

bonjour

Je ne comprends pas du tout le lemme 3

[joel_5632]

OK, j'ai compris.

[Médiat]

Bonjour,

La définition de l'espérance est :
, ou où = nombre de tirages avec numéros différents et = nombre total de tirages possibles, or donne directement le calcul de
(cf. la remarque du lemme 2), il reste à diviser par

[EDIT] Trop tard

[joel_5632]

merci quand même.

je ne voyais pas que Yn = sum k * N(k)

Autant le 1 er calcul de En avec les S(n, k) est "naturel", autant le 2 ème calcul de En avec Y(n, k) ne l'est pas et a du être difficile à trouver

[Médiat]

autant le 2 ème calcul de En avec Y(n, k) ne l'est pas et a du être difficile à trouver

C'est bien après avoir pensé à cette idée que j'ai eu l'envie de rédiger

[joel_5632]

Tu es peut être le 1er à avoir trouvé cette formule