Intégrales et suites

[Evocation]

Bonjour.

Je suis un étudiant en prépa MPSI, et j'ai quelques conseils à vous demander concernant un exercice de mathématiques. Bien-sûr, j'aimerais que vous m'aiguillez sans me laisser la tâche trop facile. Venons en à l'exercice :

Pour tout entier naturel n : .

Montrer que pour tout entier naturel n :

J'ai tenté quelques pistes, mais je n'arrive pas à les explorer :

1. Trouver une primitive de (cos(t))^n.

2. Faire un raisonnement par récurrence.

Cordialement.
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[gg0]

Bonjour.

Compare I_n+2 et I_n. En passant en sin et séparant le carré de sin en deux, tu verras une intégration par parties.

Cordialement.

NB : Tout est dans le 2.

[Evocation]

Merci pour ta réponse.

Alors .

C'est à partir de cette inéquation que tu me conseilles de passer au sin ? ( cos² = 1 - sin²)

Je ne vois pas bien le lien entre l'inégalité ci-dessus et le raisonnement par récurrence.

Cordialement.

[Evocation]

Edit : J'ai bien réussi le raisonnement par récurrence, merci.

Cependant je ne vois toujours pas le lien avec la comparaison que tu m'as conseillé. Quel est-il ?

Je me lance dans les questions ultérieures. Dois-je ouvrir un nouveau topic si j'ai besoin d'aide ou celui-ci est approprié ? (ce sont des exercices d'un seul et même problème)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Je ne pensais pas à une inégalité, simplement à une différence (outil classique de comparaison, avec aussi le quotient).

Pas besoin d'un nouveau topic, si c'est le même problème, au contraire ...

[Evocation]

Merci pour ta réponse.

Pour la suite, il faut que je justifie :
Pour tout entier naturel n et pour tout t appartenant à l'intervalle [0 , pi/2 ] :
cos^(n+1) (t) <= cos^n (t).

Je me suis lancé dans cette piste : pour tout réel t :
cos (t) <= 1
D'où cos^(n+1) (t) <= cos^n (t).

Malheureusement pour moi c'est faux pour tout réel t.

J'aimerai savoir où se trouve mon erreur.

Cordialement.

[gg0]

-5<1 mais (-5)²>1²

Pour passer de cos (t) <= 1 à cos^(n+1) (t) <= cos^n (t) il faut multiplier par ... donc savoir si c'est positif ou négatif.

Cordialement.

[Evocation]

Merci pour ta réponse.

Effectivement, penser à un cas particulier permet de mieux comprendre.

Pour la suite, je doute de la méthode que j'emploie.

En utilisant le résultat précédent, je dois justifier que pour tout entier naturel n : .

Comme pour tout entier naturel n et pour tout t appartenant à l'intervalle [0 , pi/2] : .
J'ai pour idée de "monter" (je ne sais pas trop comment ça se dit) les deux cosinus en intégrale de 0 à pi/2.
Cependant je n'ai pas de résultat tel quel démontré dans mon cours.
Lorsque je m'imagine une intégrale comme étant l'aire sous la courbe d'une fonction, ce résultat me semble logique, mais il m'a été déconseillé de m'imaginer une intégrale ainsi. Comme je ne connais pas de primitive de il m'est difficile de le prouver avec la méthode :

De même, pour prouver que In est différent de 0. En réfléchissant avec l'aire sous la courbe c'est compréhensible, mais autrement je ne sais pas.

Y a t-il une autre voie ? Si non, comment puis-je justifier mes actions ?

Cordialement.

[Evocation]

Par la suite, je dois trouver un nombre réel L vérifiant lorsque .

L'une des questions précédentes me donne : .

J'en déduis que la suite In est décroissante, et je pourrais peut-être justifier qu'elle tend vers 0.
Cependant, malgré cela, je n'ai pas beaucoup d'idées pour la limite.

Que me conseillerez vous ?

[gg0]

Bonjour.

Beaucoup de questions, je vais essayer de donner quelques indications. D'abord connais tu le lien entre intégrales et inégalités. On a ça dans tous les cours d'intégration : Si sur [a,b], on a alors .

Ça permet aussi de prouver la positivité d'une intégrale en remplaçant la fonction dont on n'a pas de primitive par une fonction plus petite (par exemple constante par morceaux). Tu peux même prouver ainsi qu'une fonction continue positive qui est strictement positive pour une valeur a une intégrale non nulle (strictement positive si on intègre dans le bon sens).

Si tu n'as pas ce théorème de comparaison d'intégrales, rappelle-toi que a pour dérivée f'(x).

Bonne réflexion !

NB : Ne déverse pas la suite des questions, tu as le temps de trouver seul.

[Evocation]

Bonjour,

Je n'ai pas encore commencé le cours sur les intégrales, alors je n'ai pas cette proposition.

Si tu n'as pas ce théorème de comparaison d'intégrales, rappelle-toi que a pour dérivée f'(x).

Je me trompe peut-être, mais n'est-il pas vrai que : ?

Cependant je ne suis pas parvenu à avancer avec ce résultat...

Cordialement.

[Evocation]

(désolé pour le double post)

En faite, j'arrive à un résultat, mais j'utilise une idée que vous aviez déjà jugé trop compliqué :
J'utilise le fait que, si deux fonctions sont continues sur I, admettent les mêmes limites, et que la première croit plus rapidement que la seconde, alors la première est toujours supérieure ou égale à la seconde sur I.

Bon, je suis d'accord que cette idée provient plutôt d'une vision, que d'une démonstration mathématiques. Je ne pense pas qu'il soit très rigoureux de l'utiliser.

Qu'en pensez vous ?

[gg0]

n'est-il pas vrai que :
Si f est continue, oui. Et tu sais en déduire que si f>0 sur [a,b] alors est croissante, alors , puis, en passant les intégrales dans le second membre et les réunissant, que
Si sur [a,b], on a alors .

Sinon, la propriété dont tu parles est à transformer en une propriété bien écrite, qui revient exactement à ce qui est ci-dessus.

En fait, ce sont des propriétés qu'on voit en terminale S, donc je pense que tu peux les considérer comme connues.

Cordialement.