Probabilités : Combinaisons

[Lagousse]

Bonjour à tous,

J'ai besoin de votre aide pour démontrer une propriété concernant les combinaisons.

Prenons une urne contenant :
N1 boules de couleurs 1,
N2 boules de couleurs 2,
......
Nk boules de couleurs k

Pour des tirages simultanés, sans remise j'aimerais comprendre d'ou vient le fait que le nombre de combinaisons contenant n1 boules de couleur 1, n2 boules de couleur 2 jusqu'à nk boules de couleur k est défini comme le produit des combinaisons C(n1,N1)C(n2,N2)...C(nk,Nk).

Je n'ai vraiment pas idée du point de départ de cette démonstration,

Merci d'avance pour votre aide!
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[gg0]

Bonjour.

C'est quasiment une évidence quand on sait que pour compter tous les cas, on peut voir comment les construire tous, une fois et une seule. Pour avoir la combinaison dont tu parles, on peut prendre l'ordre qu'on veut (puisque l'ordre n'intervient pas). Donc on commence par prendre n1 boules de la couleur 1 parmi les N1 possibles, ce qui fait C(N1,n1) façons de faire; Puis, pour chacun de ces choix, on va choisir n2 boules parmi les N2 de la couleur 2, ce qui fait C(N2,n2) façons, dont pour les deux premières couleurs, C(N1,n1)xC(N2,n2) façons de prendre; puis ...
Je te laisse finir, mais je crois que tu as compris

Cordialement.

[Lagousse]

Tout d'abord merci pour votre réponse

Effectivement démontré comme cela c'est une évidence, de même que le passage par l'exemple (ce que j'avais utilisé pour m'en persuader!).
Mais n'est-il pas possible de le démontrer rigoureusement ?
La démonstration par récurrence est-elle envisageable ?

[gg0]

Si tu veux une preuve rigoureuse, il va falloir passer par des bijections. Bon plaisir.
De cette façon, la récurrence est immédiate, mais fais toi le plaisir de l'écrire. je n'ai pas compris "le passage par l'exemple ", puisque je n'ai utilisé aucun exemple.

[A voir en vidéo sur Futura]