Suites

[matia12]

Bonjour à tous,

Je bloque sur deux questions en maths sur les suites .

1) on fixe un certain n≥2; pour tout k (tq 2≤k≤n) on pose Pk=1-[(1-1/n)*(1-2/n)*.............(1-(k-1)/n]=1-wk

Montrer par récurrence sur k que Pk≤(1/n)*(1+2+.....+(k-1)) utiliser wk+1=wk+(1-k/n)

2) en deduire Sn-Un≤(1/2n)*(Σ 1/(k-2)!)

avec Sn=1+1/1!+1/2!+........1/n! pour n≥1
Un=1+1/1!+(1-1/n)/2!+(1-1/n)(1-2/n)/3!+........................... ...............+[(1-1/n).....(1-(n-1)/n)]/n!


Pour la question 1)
J'ai Pk+1=1-wk+1=1-(wk(1-k/n))=1-wk+wk*k/n=Pk+wk*k/n
et je sais que je dois montrer que Pk+1≤(1/n)*(1+2+.....+(k-1))+k/n

Je vous remercie pour votre aide,
Cordialement
-----

[G.Renault]

Bonjour,

Tu obtiens l'inégalité qui est juste.
As-tu appliqué ton hypothèse de récurrence ?
Si oui, tu vas voir aisément que prouver

revient à prouver que

[matia12]

Bonjour,

Je dois montrer que wk≤1 mais je n'arrive pas à le démontrer rigoureusement .

[G.Renault]

Que peux-tu dire des produits suivants et pourquoi ?

[A voir en vidéo sur Futura]