Suites adjacentes

[Xibition98]

Bonjour , jai un souci avec cet exercice :

(Un ) et (Vn) sont deux suites définies par :

U0 = a>= 1
UnVn = a et pour tout entier naturel n , Un+1 = 1/2 ( Un+Vn)
- Montrer que (Un) et (Vn) sont adjacentes .

- J'arrive à prouver que (Un) est croissante , et que (Vn) est décroissante , mais je n'arrive pas à prouver que la limite de Un-Vn = 0
Pourriez vous m'aider s'il vous plait ?



- Pour montrer que (Un) est (Vn) sont monotones :
J'ai d'abord prouvé que pour tout entier naturel : Un≠0 , et donc Vn = a/Un

UnVn = a >0
Donc Un>0 et Vn>0 ou Un<0 et Vn<0
Puisque U0 = a > 0 , donc Un >0 et Vn>0

- Un+1 - Un = 1/2(Un+a/Un) - Un = a/2 Un >0 .Donc ( Un ) est croissante.
- Vn+1 -Vn = a/Un+1 - a/Un = a(Un-Un+1)/UnUn+1 < 0 . Donc (Vn) est décroissante .
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[gg0]

Bonjour

UnVn = a >0
Donc Un>0 et Vn>0 ou Un<0 et Vn<0
Puisque U0 = a > 0 , donc Un >0 et Vn>0

Désolé, je ne comprends pas le "donc" en rouge, et la phrase précédente, en bleu, n'explique rien. Elle justifie que V0 est positif, mais ne dit rien des termes suivants.
Un petite preuve par récurrence que Un et Vn sont strictement positifs serait assez naturelle.

Un+1 - Un = 1/2(Un+a/Un) - Un = a/2 Un

Calcul faux.

Encore une fois, commence par calculer juste, appliquer des règles et raisonnements précis et corrects.

Cordialement.

[Xibition98]

Pour la phrase en rouge , oui je sais qu'il faut le prouver par récurrence mais c'est genre le U0 = a > 0 qui initialise cette récurrence là.
Pour votre deuxième remarque , je ne sais vraiment pas comment j'ai procédé pour aboutir à ce résultat .
Je réessaye maintenant que je suis mieux concentré , mais je n'y arrive pas ..

[gg0]

Si tu as fait une récurrence, ne dis pas "donc", dis que tu as justifié par récurrence. Et si tu ne l'as pas faite, évite des affirmations aussi oiseuses.
Pour l'autre formule, c'est du "n'importe quoi", et tu as raconté n'importe quoi ! Prends un exemple de valeur de a pour regarder ce qui se passe. Tu vas rougir de ton premier message !

Allez, fais ton travail sérieusement. On peut t'aider à continuer si tu bloques, pas si tu écris sans savoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Xibition98]

C'est bon , je crois que j'ai réussi
- J'ai d'abord montré que Un>0 ( pour tout entier naturel n ).
Puis que Un > racine carrée de alpha et j'ai conclu que Vn < racine carrée de a
Ensuite , j'ai prouvé que (Un) est décroissante , et que (Vn) est croissante
J'ai donc conclu que (Un) est convergente et que sa limite est : racine carrée de a
Même chose pour (Vn)

Par ailleurs , on a limite (Vn-Un) = 0
conclusion : ( Vn) et (Un) sont adjacentes