Fibré tautologique : Questions basiques.

[invite52487760]

Bonjour à tous,

J'ai quelques simples questions qui portent sur le fibré tautologique en droites sur .
Pour chaque point , posons : la droite de représentée par le point .
- Pourquoi la famille : est égale au fibré en droites holomorphe : muni de la première projection :
- Pourquoi n'a pas de sections ?

Merci d'avance.
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[Universus]

Bonjour à tous,

J'ai quelques simples questions qui portent sur le fibré tautologique en droites sur .
Pour chaque point , posons : la droite de représentée par le point .
- Pourquoi la famille : est égale au fibré en droites holomorphe : muni de la première projection :

Il y a peut-être une certaine ambiguïté quant à la signification de « est égale » et de « fibré ».

La collection des fibres du fibré est, sans surprise, en bijection avec . Ensuite, chaque fibre est, par construction, la droite . En ce sens, la collection des fibres du fibré est la famille , mais il ne s'agit pas à strictement parler du fibré : un fibré contient de l'information sur la manière dont les fibres sont collées les unes aux autres (bref, un fibré possède une topologie, ce que la collection des fibres ne possède pas de prime abord).

Après, il est vrai que la description de la collection des fibres du fibré comme l'ensemble suggère quelle est la topologie du fibré . En ce sens, nous avons bien une égalité.

- Pourquoi n'a pas de sections ?

Cela nécessite une précision : n'admet pas de section (globale) holomorphe autre que la section triviale nulle, mais admet des sections globales lisses non holomorphes.

Si est une section holomorphe, alors la composition est une application holomorphe de domaine compact. En vertu du principe du maximum des applications holomorphes appliqué à la post-composition de par la projection orthogonale (pour le produit hermitien usuel de ) sur n'importe quelle , cela n'est possible que si . Donc il n'y a pas de section holomorphe non triviale.

[invite52487760]

Merci pour toutes ces précisions @Universus.
En fait, je n'ai pas bien saisi comment tu as déduit du principe du maximum que : est la section globale nulle. Peux tu m'éclairer sur ce sujet, stp ?
Le principe du maximum affirme que :
Si est une fonction holomorphe sur un ouvert : , alors :
Si admet un maximum local en un point , alors, est constante au voisinage de .
est holomorphe, alors, elle analytique, c'est à dire, localement égale à sa série de Taylor.
Par le théorème du prolongement analytiques. Si s'annule localement, alors : est partout nulle.
Or, je ne sais pas comment déduire du principe du maximum que : est localement nulle.
Il me semble qu'il faut considérer : ... Je n'arrive pas à poursuivre.
Merci pour votre éclairage.

[Universus]

Il suffit de restreindre s' à n'importe quel ouvert U de qui soit le complément d'une droite projective. Le principe du maximum s'applique alors à n'importe quelle post-composition d'une telle restriction de s' par une projection orthogonale sur une droite ; nous tirons que s' est constante sur chaque ouvert U (il faut utiliser la compacité du plan projectif ici, ce qui nécessite de considérer un peu plus qu'un seul U à la fois). Il en résulte que s' est constante. Or, l'image de s' doit appartenir à toutes les droites complexes passant par l'origine de , donc l'image de s' doit être l'origine. Cela signifie que s est la section nulle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite52487760]

La première partie de ton message est dur à comprendre pour moi.
Je n'ai pas compris pourquoi s'annule sur l'ouvert, complément d'une droite projective : grâce au principe du maximum. Je n'ai pas assez manié le principe du maximum tout au long de ma vie, c'est pourquoi j'ai des difficultés à comprendre tes explications Universus.
Aide moi stp.
Merci d'avance.

[Universus]

Il vaut peut-être mieux utiliser une sorte de corollaire du principe du maximum, à savoir le théorème de Liouville : toute fonction holomorphe définie sur qui soit bornée est constante.

Pour une section holomorphe de , nous pouvons considérer la composition , et ensuite considérer les compositions où est n'importe quel sous-espace vectoriel (complexe) de dimension 1. Toutes les applications ci-dessus sont holomorphes, donc continues. Puisque est compact, son image par n'importe quelle des applications ci-dessus est compacte et en particulier bornée.

Tout complément d'une droite projective dans le plan projectif est biholomorphe à . Ainsi, nous pouvons définir . Il s'agit essentiellement d'une application holomorphe définie sur qui est bornée. Par le théorème de Liouville, elle est constante. Puisque c'est vrai quelle que soit , il en résulte que est constante.

D'après la fin de mon message précédent, en vertu de la définition de , il vaut que ce soit l'application identiquement nulle, de sorte que est la section triviale.

[invite52487760]

Oui, c'est très clair maintenant, merci beaucoup.
Cordialement.