Application non mathématique de l'irrationalité et transcendance.

[stefjm]

Bonjour,

Je me permet de porter à votre connaissance une question que j'ai posée en physique :
Connaissez-vous des lois physiques dont l'expression utilise les propriétés mathématiques d'irrationalité ou de transcendance mathématique?

Je vous invite à répondre sur le fil de physique si vous en connaissez.
http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post5434681

Pour couvrir plus large que la physique :
Connaissez vous des applications non directement mathématique de l'irrationalité ou de la transcendance?

Cordialement.
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[gg0]

Théorème KAM ?

[Médiat]

Bonjour,

L'impossibilité de la quadrature du cercle, et d'autres constructions à la règle et au compas.
Il existe aussi des théorèmes concernant les nombres quadratiques (qui sont des irrationnels particuliers), par exemple les fractions continues périodiques (à partir d'un certain rang...

[invite82078308]

Théorème KAM ?

Pour rendre les choses plus concrètes, cela peut intervenir dans des systèmes newtoniens (système solaire).
En simplifiant les choses ( outrageusement) si les périodes des planètes ne sont pas en rapport rationnel, cela évite des effets cumulatifs qui finiraient par destabiliser les orbites.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

A noter qu'une valeur physique est toujours affectée d'une certaine imprécision qui rend la question sans objet : les périodes des orbites des planètes n''existent que dans une modélisation mathématique, pas dans la réalité (les planètes ne suivent pas des orbites périodiques, mais seulement approximativement périodiques). Ce qui n'interdit pas de trouver que le théorème KAM est important.

Cordialement.

[gg0]

NB : Ce sujet est un doublon !

[stefjm]

Bonjour,

Théorème KAM ?

Pour rendre les choses plus concrètes, cela peut intervenir dans des systèmes newtoniens (système solaire).
En simplifiant les choses ( outrageusement) si les périodes des planètes ne sont pas en rapport rationnel, cela évite des effets cumulatifs qui finiraient par destabiliser les orbites.

A noter qu'une valeur physique est toujours affectée d'une certaine imprécision qui rend la question sans objet : les périodes des orbites des planètes n''existent que dans une modélisation mathématique, pas dans la réalité (les planètes ne suivent pas des orbites périodiques, mais seulement approximativement périodiques). Ce qui n'interdit pas de trouver que le théorème KAM est important.
NB : Ce sujet est un doublon !
Cordialement.

Pour cet aspect, j'ai déjà répondu en physique.
http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post5434681
Je ne sais pas si le parallèle est pertinent :
- décimaux mesuré donne entier modélisé (comptage moyen de billes)
- décimaux mesuré donne irrationnel (ou transcendant) modélisé.

@ gg0 : c'est votre remarque sur ce fil qui m'a inspiré l'idée :
http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5432500

L'impossibilité de la quadrature du cercle, et d'autres constructions à la règle et au compas.
Il existe aussi des théorèmes concernant les nombres quadratiques (qui sont des irrationnels particuliers), par exemple les fractions continues périodiques (à partir d'un certain rang...

Ce sont des mathématiques.
Je suis tombé sur la quadrature du cercle de Tarski : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5432500
Le 10^50 m'intrigue car il est très "grand nombre qui sort en physique".
C'est un nombre connu précisément?

Merci pour vos réponses.

Cordialement.

[Médiat]

Ce sont des mathématiques.

Bonsoir,

Ben non, il s'agit de faire un dessin avec un bout de bois droit et deux bouts de bois attachés en un point, ce ne sont pas des mathématiques, même si c'est mathématisable, d'ailleurs si cela ne l'était pas vous ne pourriez pas parler d'irrationalité ni de transcendance ; quant aux fractions continues : je me suis rappelé que vous aimiez bien.

[stefjm]

Un dessin mathématique ou un dessin physique?
J'avoue que j'ai du mal à démêler les aspects mathématiques des aspects physiques.

[gg0]

Aspect mathématique : 2+1=3
Aspect physique : 2 moles d'hydrogène + 1 mole d'oxygène ça ne fait pas trois moles, mais éventuellement une explosion et 18g d'eau.

Sinon, un "dessin mathématique", je ne sais pas ce que c'est. mais je ne connais pas toutes les notions qui ont été inventées par les mathématiciens. Tu as entendu parler de ça où ?

Cordialement.

[stefjm]

Sinon, un "dessin mathématique", je ne sais pas ce que c'est. mais je ne connais pas toutes les notions qui ont été inventées par les mathématiciens. Tu as entendu parler de ça où ?

Dessin mathématique : représentation mathématique.
La représentation d'un cercle dans un plan n'a pas grand chose à voir avec une feuille de papier, un crayon et un compas. C'est simplement une représentation de ce qu'on définit comme cercle. On peut même raisonner juste avec le dessin faux.

Contrairement au dessin physique sur la feuille de papier pas plate avec un trait de crayon pas infiniment fin et un compas avec jeu. Ces imprécisions qui d'après toi, rendent ma question sans objet (message #5, http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5434791).

Comme la notion est mathématisable, j'en cherche un usage en physique.
Ce doit être mon penchant inavoué pour le platonisme.

Cordialement.

[gg0]

Désolé, je ne te suis pas.

je sais ce qu'est un cercle dans un plan (ensemble des points situés à la même distance d'un point appelé le centre), mais "La représentation d'un cercle dans un plan" non.

"On peut même raisonner juste avec le dessin faux." Bien sûr, ou même sans (j'ai des copains d'étude aveugles qui sont devenus profs de géométrie en supérieur). mais le dessin dont tu parles ici, c'est du crayon sur du papier.

Tu sembles confondre les mathématiques avec le processus de modélisation (par des outils mathématiques). Le "cercle réel" d'épaisseur infiniment petite n'existe pas dans la réalité. C'est une étape pédagogique pour faire comprendre qu'en géométrie on traite d'objets idéaux, pas des figures tracées sur le papier. Les figures géométriques ne sont pas des dessins "parfaits".

Enfin, en général, les physiciens savent bien que la précision totale n'est pas physique. J'en connais (Christian Magnan, ...) qui nient même la réalité physique de quantités nulles ou infinies. C'est une position un peu forte, mais qui permet de relativiser les résultats parfaits de la physique mathématique (qui ne fait que des maths).

Si tu tiens vraiment au platonisme, lis Popper, et vois sa notion des trois mondes. Mais il ne mélange pas le monde des théories et le monde réel, même si les théories peuvent changer le monde concrètement. Platon non plus, ne mélange pas.

Cordialement.

[stefjm]

Bonjour,

Désolé, je ne te suis pas.

je sais ce qu'est un cercle dans un plan (ensemble des points situés à la même distance d'un point appelé le centre), mais "La représentation d'un cercle dans un plan" non.

"On peut même raisonner juste avec le dessin faux." Bien sûr, ou même sans (j'ai des copains d'étude aveugles qui sont devenus profs de géométrie en supérieur). mais le dessin dont tu parles ici, c'est du crayon sur du papier.

Tu sembles confondre les mathématiques avec le processus de modélisation (par des outils mathématiques). Le "cercle réel" d'épaisseur infiniment petite n'existe pas dans la réalité. C'est une étape pédagogique pour faire comprendre qu'en géométrie on traite d'objets idéaux, pas des figures tracées sur le papier. Les figures géométriques ne sont pas des dessins "parfaits".

Pour moi, le proscessus de modélisation consiste à associer à un objet physique (un machin globalement rond en graphite déposé sur du papier) à un objet mathématique (un cercle).
Pour le cas qui m'occupe ici, je ne garde que les propriétés mathématiques du cercle pour décrire partiellement mon objet physique.

Pour l'aspect mathématique, j'avoue que je me fiche un peu de savoir si les figures géométriques sont ou ne sont pas des dessins parfaits. Ce sont des mathématiques, par définition abtraites. S'il y a équivalence entre une définition de cercle et un dessin parfait de cercle, tant mieux. Sinon, tans pis.
Pour l'aspect physique, l'expérience sur Futura montre qu'il ne faut pas employer les termes "existe", "réalité", "réalité vraie" car trop mal définis et ne permettant pas de se comprendre.

L'important pour moi est d'être capable de reconnaitre et d'utiliser les propriétés mathématiques du cercle pour décrire mon objet physique.

Je n'espère absolument pas trouver de cercle parfait dans la nature, mais j'espère comprendre le processus qui me permet d'en reconnaitre une approximation acceptable.
Je crois que ce que je cherche à faire, c'est mathématiser "l'approximation acceptable".
Si l'irrationnalité est un concept qui me permet de modéliser un truc physique, j'achète.

L'exemple du théorème KAM me va tout à fait pour illustrer le point. On prédit mathématiquement des orbites quasi-périodiques ou pas. Si physiquement, on les mesure, le modèle KAM utilisé pour modéliser est adéquat. Si on ne les mesure pas, le modèle KAM n'est pas adéquat pour la modélisation (Ce qui n'indique rien sur la validité ou non de ce théorème de mathématique).

Enfin, en général, les physiciens savent bien que la précision totale n'est pas physique. J'en connais (Christian Magnan, ...) qui nient même la réalité physique de quantités nulles ou infinies. C'est une position un peu forte, mais qui permet de relativiser les résultats parfaits de la physique mathématique (qui ne fait que des maths).

Oui, je connais ses écrits et je me situe un peu dans la même ligne de pensée.
Je cherche à mathématiser des trucs évidents mais mal fichus (mal mathématisé) en physique.
Par exemple, les angles, les origines, les unités, les unités physiques, etc...

Si tu tiens vraiment au platonisme, lis Popper, et vois sa notion des trois mondes. Mais il ne mélange pas le monde des théories et le monde réel, même si les théories peuvent changer le monde concrètement. Platon non plus, ne mélange pas.

Je suis désolé et déçu de donner l'impression que je mélange.
Je me contente de modéliser de la physique, des procédés industriels, plein d'autres choses, en utilisant les mathématiques.

Je n'espère pas trouver physiquement une trompette de Gabriel (https://fr.wikipedia.org/wiki/Trompette_de_Gabriel) ou réaliser la multiplication des boules de Banach-Tarski (https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Banach-Tarski).
J'avais ce genre de dessin en tête quand je parlais de représentation.

Si ces objets mathématiques trouvent une utilisation hors mathématique, tant mieux pour celui qui s'en sert et sinon, tant mieux pour le mathématicien.

Merci pour vos éclairages.
Cordialement.
Ma signature actuelle :
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

[gg0]

Bon, donc pas de "représentation d'un cercle dans un plan". C'est noté. Seulement des objets physiques, et des modèles mathématiques.

Dans la suite de ton message, je suis très surpris que tu parles de mathématiser les angles, qui sont parfaitement définis en maths. Le problème du physicien est de choisir, parmi les différentes notions d'angles, celle qui lui servir.

Cordialement.

[stefjm]

Dans la suite de ton message, je suis très surpris que tu parles de mathématiser les angles, qui sont parfaitement définis en maths. Le problème du physicien est de choisir, parmi les différentes notions d'angles, celle qui lui servir.

L'angle en physique a une dimension physique pénible à manipuler : donc on dit qu'il n'a pas de dimension physique.
http://forums.futura-sciences.com/ph...de-langle.html

Sinon, pour la mathématisation de l'angle, merci à Mipama pour ce post :
http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5429003

[invite9dc7b526]

bonjour,

je connais mal la physique mais il me semble que les nombres qui représentent les grandeurs "avec dimension" dépendent de choix d'unités arbitraires, et donc le fait que ces nombres soient transcendants ou algébriques ne devrait pas avoir de signification physique. En revanche, le fait que le rapport de deux grandeurs (donc sans dimension) soit entier ou rationnel pourrait avoir un sens. Je pense aux figures de Lissajous qu'on dessinait en TP de physique sur un oscilloscope (je me demande si ça a un usage en dehors des TP de première année de fac...). Selon que le rapport des périodes est rationnel ou pas la courbe n'a pas la même topologie.

[gg0]

Tiens ! Bizarrement, je pensais que l'angle n'avait pas de dimension physique. Il faut dire que je parle de l'angle plan (angle géométrique, angle de demi-droites, angle de droites). Le sujet que tu cites me semble bien régler la question. D'ailleurs, que ce soit dans la formule de la longueur d'un arc

ou dans l'usage de fonctions sinusoïdales

les nombres qui sont assimilables à des mesures d'angles sont sans unités, ce que confirme le fait de donner à l'unité hertz.

Cordialement.

[stefjm]

je connais mal la physique mais il me semble que les nombres qui représentent les grandeurs "avec dimension" dépendent de choix d'unités arbitraires, et donc le fait que ces nombres soient transcendants ou algébriques ne devrait pas avoir de signification physique. En revanche, le fait que le rapport de deux grandeurs (donc sans dimension) soit entier ou rationnel pourrait avoir un sens. Je pense aux figures de Lissajous qu'on dessinait en TP de physique sur un oscilloscope (je me demande si ça a un usage en dehors des TP de première année de fac...). Selon que le rapport des périodes est rationnel ou pas la courbe n'a pas la même topologie.

Toutes les relations physiques peuvent (doivent) se mettre sous forme de rapport adimensionné.
On perd alors le garde fou de la dimension mais on gagne éventuellement la notion d'irrationnalité.

L'exemple des courbes de Lissajoux est bien sympatiques. Merci.

Tiens ! Bizarrement, je pensais que l'angle n'avait pas de dimension physique. Il faut dire que je parle de l'angle plan (angle géométrique, angle de demi-droites, angle de droites). Le sujet que tu cites me semble bien régler la question. D'ailleurs, que ce soit dans la formule de la longueur d'un arc

ou dans l'usage de fonctions sinusoïdales

les nombres qui sont assimilables à des mesures d'angles sont sans unités, ce que confirme le fait de donner à l'unité hertz.
Cordialement.

C'est un choix, mais pas le seul possible.

[invite82078308]

A noter qu'une valeur physique est toujours affectée d'une certaine imprécision qui rend la question sans objet : les périodes des orbites des planètes n''existent que dans une modélisation mathématique, pas dans la réalité (les planètes ne suivent pas des orbites périodiques, mais seulement approximativement périodiques). Ce qui n'interdit pas de trouver que le théorème KAM est important.

Cordialement.

En fait il faut considérer le fait qu'un nombre réel s'approche plus ou moins bien par des rationnels, c'est à dire qu'on peut trouver des fractions de dénominateur et numérateur assez petits approchant plus ou moins bien ce nombre.
Cela s'étudie dans le cadre de la théorie des fractions continues.
http://math.univ-lyon1.fr/~omarguin/...sContinues.pdf
Le théorème KAM y est mentionné (sans détails) page 6.