Bonjour tout le monde, voilà j'ai un petit problème avec la matrice carrée suivante :
(jusqu'à n)
1 1.... 1
1 1.... 1
. . .
. . .
. .
.
.
1 ...... 1
On me demande de déterminer Ker A, ce à quoi je réponds que c'est l'ensemble des vecteurs tel que la somme de ses composants soit nul. Mais ensuite on me demande de déterminer une base de Ker A et là je bloque x)
Mêmes question avec Ker (A-nI) et là je ne vois pas non plus pour les 2 questions !
Merci
Bonjour.
Donc tu dois déterminer une base du sous-espace vectoriel des vecteurs à n composantes de somme nulle. Une bonne idée est d'avoir une intuition de la dimension, pour ensuite chercher une famille de la bonne taille. Combien peux-tu choisir de composantes au vecteur (a, b, c, ...l) sachant que a+b+c+...+l=0 ? Donc tu sais qu'un élément de Ker A est déterminé par ... coefficients, qu'on pourra affecter à des vecteurs de base, donc la dimension est ...
Maintenant, déterminer ... vecteurs très simples, appartenant à Ker A, puis prouver qu'ils forment une base, c'est du classique pour toi, non ?
Bonne réflexion, et bon travail personnel !
Merci de ta réponse rapide !
Alors, après quelques essais, je suis arrivé au fait qu'on aura Dim(Ker A) = n-1. De plus, pour chaque matrice, on a une base qui a la forme de la base canonique de R(n-1) mais avec une composante -1 en plus, je m'explique:
Pour n=4 on a la base suivante : (-1,1,0,0) (-1,0,1,0) (-1,0,0,1)
Mais là je ne vois pas comment exprimer cette base dans le cas générale
Ben ... tu généralises !!
Tu peux aussi l'exprimer à partir de la base canonique.
N'oublie pas de prouver ...
Ok donc selon moi, j'aurais : le vecteur (-1,0,0,0,......,0) jusqu'à n + base canonique de R(n+1)
Pour le démontrer, il me suffit juste de montrer que cette famille est libre non ? (J'utiliserais les dimensions pour conclure sur le fait qu'elle soit génératrice)
Je ne comprends pas trop ce que tu dis : " le vecteur (-1,0,0,0,......,0) jusqu'à n + base canonique de R(n+1)", d'autant que ta matrice est de dimension nxn et que la base canonique de R(n+1) a n+1 vecteurs alors que tu en cherches n-1.
Et si tu écrivais simplement ...
j'ai ue matrice A et λ valeur propre de a d'ou il existe x#{O}telle que Ax= λ x
j'ai pas compris: (A- λ I)x=0 ssi ker(A- λ I)#{0}??????
j'aimerai bien que vous m'aidez
Doublon ! Et même triplet !
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