dimension de C([0,1],R)

[mathsloveer]

bonjour,
Est ce que C([0,1],R) est de domension infini?! Et comment montrer généralement qu'un espace n'es pas de dimension finie?!
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[gg0]

Bonjour.

Pour montrer qu'un espace vectoriel n'est pas de dimension finie, il te suffit de trouver une famille libre infinie. Dans ton cas c'est facile (pense aux monômes, par exemple).

Cordialement.

[mathsloveer]

Une fonction polynomiale continue sur [0,1] s'écrit comme combinaison linéaire de monômes donc ça suffit pour conclure que C([0,1],R) est de dimension infinie!!

[gg0]

Par contre,

je ne crois pas qu'on puise exhiber une base; tout au plus, avec l'axiome du choix, on sait qu'il y en a.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mathsloveer]

Lorsqu'on parle des fonctions on ne peut pas leurs associer une base. Néomoins on peut décomposer une fonction en somme d'une paire et impaire.

Vous avez dit que l'axiome de choix affirme qu'il existe une base! Ce que je sais de l'axiome du choix c'est qu'a partir d'un ensemble X contennant des ensembles non vides

il existe une fonction dite de choix reliant a chaque element A de X un un élement de A Pouvez voux expliquer plus et affirmer directemment que C([0,1],R) est de dimension infini?!

Cordialement!!

[mathsloveer]

Correction C([0,1],R) n'est pas de dimension finie!!

cordialement

[Tryss2]

Les fonctions x^n forment une famille libre de C([0,1],R) , donc l'espace est au moins de dimension infinie-dénombrable.

Après, par des arguments un peu avancés, on peut montré qu'il ne peut pas être de dimension dénombrable

[gg0]

Mathslover,

je n'ai jamais dit que l'axiome du choix parlait des bases, seulement qu'en l'utilisant, on peut prouver l'existence de bases dans tous les espaces vectoriels. Sans l'axiome du choix, il n'y a pas de notion de dimension pour la plupart des espaces vectoriels.
Mais prouver l'existence d'une base ne dit pas comment en trouver.

Cordialement.

[Tryss2]

Et plus exactement, il s'agit du lemme de Zorn qui permet de "construire" par récurrence (transfinie) une base de n'importe quel espace vectoriel.

D'ailleurs, il me semble qu'exhiber une base de C([0,1],R) est équivalent à (une version de) l'axiome du choix

[Médiat]

Bonjour,

Après, par des arguments un peu avancés, on peut montré qu'il ne peut pas être de dimension dénombrable

A quels arguments pensez-vous ?

[Tryss2]

Bonjour,


A quels arguments pensez-vous ?

Au théorème de Baire. En effet, muni de la norme infinie est un espace de Banach.

Supposons que E possède une base dénombrable (e1,...,en, ...)

On note

On a alors

Or les sont des fermés d’intérieur vide, donc par le théorème de Baire, on aurait que E est d'intérieur vide : contradiction

[Cipad]

Plus simplement, on peut montrer que l'ensemble forme une famille libre indénombrable.

[Médiat]

Bonjour,

Cipad a répondu avant moi, je pensais effectivement à cet argument qui ne me semble pas "un peu avancé"

[Tryss2]

Cépafo !

Mais bon, j'aime bien cette application du théorème de Baire

[Médiat]

Cépafo !

Ce n'est pourtant pas le théorème de Parseval

[Seirios]

Une autre manière élémentaire de voir que n'est pas de dimension finie est de définir une fonction affine par morceaux s'annulant sur et strictement positive sur . Les ayant des supports deux à deux disjoints, il est claire que l'on trouve ainsi une famille libre infinie. Par contre, cette méthode ne permet pas de démontrer que la dimension n'est pas dénombrable.