Convergence d'une série

[mathsloveer]

Bonjour,

Je n'arrive pas a se convaincre que: ||Un|| est différente de o(1/n) au voisinage de l'infini. Avec: Un=(1/sqrt(n²-1))-(1/sqrt(n²+1)).

Merci!!
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[gg0]

Bonjour.

Pourtant ce n'est pas anormal, chacun des deux termes est équivalent à 1/n, leur différence est alors d'ordre supérieur.
Tu peux éventuellement poser 1/n = p et étudier au voisinage de p=0, avec les outils classiques, donc étudier un DL en 0 de (1/sqrt((1/x)²-1))-(1/sqrt((1/x)²+1)) (on prend x à la place de p pour avoir une variable continue)

Bon travail !

[mathsloveer]

Merci!! C'est plus claire maintenant!!

[ansset]

Bonjour,
Je n'arrive pas a se convaincre que: ||Un|| est différente de o(1/n) au voisinage de l'infini. Avec: Un=(1/sqrt(n²-1))-(1/sqrt(n²+1)).
Merci!!

Bonjour.
Pourtant ce n'est pas anormal, chacun des deux termes est équivalent à 1/n

que l'on peut prolonger en multipliant Un par (1/sqrt(n²-1))+(1/sqrt(n²+1)).
terme convergeant vers 2/n
la multiplication donne (a-b)(a+b)
1/(n²-1)-1/(n²+1) soit
2/(n²+1)(n²-1)
donc
Un tend vers n/(n²+1)( n²-1)
donc est en n/n^4 soit en 1/n^3 , o(n)

[A voir en vidéo sur Futura]

[mathsloveer]

Je ne peut rien dire!! C'est une réponse parfaite merci!!

[ansset]

avec mes excuses pour la coquille o(1/n) et non o(n) , mais je suis sur que tu avais corrigé.