Equation fonctionnelle

geometrodynamics_of_QFT · 06/03/2016, 13h56

Re-bonjour,

Comment résoud-on une équation de type

$\text{[math]}$

pour f? Où x est la variable réelle de f et h une constante réelle.

Je vous remercie d'avance!

**God's Breath** · 06/03/2016, 17h23

On considère une fonction quelconque sur [0,h[, et on la prolonge à R tout entier en utilisant la relation fonctionnelle.

geometrodynamics_of_QFT · 06/03/2016, 17h56

Envoyé par God's Breath

On considère une fonction quelconque sur [0,h[, et on la prolonge à R tout entier en utilisant la relation fonctionnelle.

Merci God breath.
Je ne suis pas sûr de bien comprendre...

Donc si je vous suis pas à pas, je prends par exemple f(x) : [0,h[ --> R, x-->x donc f(x)=x.
On a f(x+h) = x+h
Donc la relation fonctionnelle devient: x+h-x = x+h ==> x=0 ...la relation n'est vérifiée que pour x=0?

**God's Breath** · 06/03/2016, 18h05

Si je prends :

$\text{[math]}$

la relation fonctionnelle fournit successivement :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

etc.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

geometrodynamics_of_QFT · 06/03/2016, 18h26

Envoyé par God's Breath

Si je prends :

$\text{[math]}$

la relation fonctionnelle fournit successivement :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

etc.

Encore merci.
La première ligne, je suis d'accord : f(h)=h

mais dès la seconde ligne, je ne comprends plus

f(2h) = 3h, mais on devrait avoir f(2h)=2h puisque f(x)=x...non?

**God's Breath** · 06/03/2016, 18h52

NON

On a défini f(x)=x pour x dans [0,h[, pas pour les autres !!!

geometrodynamics_of_QFT · 06/03/2016, 19h19

Envoyé par God's Breath

Si je prends :

$\text{[math]}$

la relation fonctionnelle fournit successivement :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

etc.

Ok donc :
pour $\text{[math]}$ on prolonge $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$
pour $\text{[math]}$ on prolonge $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$
pour $\text{[math]}$ on prolonge $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ ???

Et $\text{[math]}$ est ainsi définie par palliers de $\text{[math]}$ ?
par exemple:
$\text{[math]}$ ?

**God's Breath** · 06/03/2016, 19h31

Je ne sais pas si les valeurs proposées sont exactes, il faut faire un calcul précis de proche en proche, et ne pas extrapoler trop rapidement les résultats obtenus en un point.

geometrodynamics_of_QFT · 06/03/2016, 20h30

Envoyé par God's Breath

Je ne sais pas si les valeurs proposées sont exactes, il faut faire un calcul précis de proche en proche, et ne pas extrapoler trop rapidement les résultats obtenus en un point.

J'ai "travaillé" l'équation à rebourd:

si $\text{[math]}$

alors $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

et finalement $\text{[math]}$

Que faire avec cette équation différentielle? Comment résoudre la limite?

Je vous remercie d'avance une nouvelle fois!

**God's Breath** · 06/03/2016, 21h18

1. Rien ne dit que la fonction f est continue ou dérivable.

2. Si x est non nul, la dernière limite est infinie.

geometrodynamics_of_QFT · 06/03/2016, 21h49

merci encore, mais donc pour en terminer:

Envoyé par God's Breath

1. Rien ne dit que la fonction f est continue ou dérivable.

Admettons, supposons, qu'elle le soit, et qu'elle appartienne même à $\text{[math]}$
On suppose aussi que son domaine est $\text{[math]}$ , l'ensemble des réels.

Envoyé par God's Breath

2. Si x est non nul, la dernière limite est infinie.

Donc si l'hypothèse ci-dessus est vérifiée, alors f'(x) est infinie partout? (sauf en 0 ou elle n'est pas définie a priori)

Dès lors, il n'existe pas de fonction f(x) continue dérivable vérifiant l'équation de départ f(x+h)-f(x) = x+h?

**God's Breath** · 06/03/2016, 21h55

Envoyé par geometrodynamics_of_QFT

Où x est la variable réelle de f et h une constante réelle.

Je n'ai jamais vu les constantes tendre vers 0.

geometrodynamics_of_QFT · 06/03/2016, 22h38

Envoyé par God's Breath

Je n'ai jamais vu les constantes tendre vers 0.

haha oui en effet

pardon, je reformule :

Soit l'équation $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est une constante réelle positive.

On a alors, pour un certain $\text{[math]}$ réel arbitraire:

$\text{[math]}$ et
$\text{[math]}$

On construit $\text{[math]}$

Prenant la limite pour cette fois-ci le paramètre $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$

On en conclut que $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ est constante?

Dans ce cas : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ , menant à une contradiction...?

**God's Breath** · 06/03/2016, 22h41

Curieux !

Je pars de $\text{[math]}$ .

Je dérive par rapport à $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .

geometrodynamics_of_QFT · 06/03/2016, 22h55

Envoyé par God's Breath

Curieux !

Je pars de $\text{[math]}$ .

Je dérive par rapport à $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .

Hahahaha oui

j'ai vu après lol...au moins cela prouve que mes calculs sont justes!

Mais donc quid finalement?

Envoyé par geometrodynamics_of_QFT

On en conclut que $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ est constante?

Dans ce cas : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ , menant à une contradiction...?

Donc aucune fonction $\text{[math]}$ ne vérifie cette équation?

edit: "donc $\text{[math]}$ est constante?" : ou périodique...

geometrodynamics_of_QFT · 07/03/2016, 12h40

Donc

a) si on postule $\text{[math]}$ continue et dérivable sur R.
b) si on postule que $\text{[math]}$ pour un certain réel $\text{[math]}$ .
c) on aboutit à une contradiction car $\text{[math]}$ est constante si $\text{[math]}$ est arbitraire donc $\text{[math]}$ ?
d) si $\text{[math]}$ n'est pas arbitraire, mais une constante donnée fixe, alors $\text{[math]}$ ne permet pas de conclure que $\text{[math]}$ est constante. Au mieux, on peut déduire que $\text{[math]}$ est périodique de période $\text{[math]}$ ? Ne peut-on rien conclure de plus?

**Médiat** · 07/03/2016, 13h26

Bonjour,

Sauf erreur de calcul, la fonction f(x) = x^2/2h + x/2 vérifie bien votre relation fonctionnelle et elle est continue et dérivable.

En lui ajoutant une fonction de période h (ou un diviseur de h) on obtient toutes les fonctions qui vont bien

geometrodynamics_of_QFT · 07/03/2016, 13h46

Envoyé par Médiat

Bonjour,

Sauf erreur de calcul, la fonction f(x) = x^2/2h + x/2 vérifie bien votre relation fonctionnelle et elle est continue et dérivable.

Mais pourtant...si $\text{[math]}$ , et que $\text{[math]}$ est continue et dérivable, alors on doit avoir $\text{[math]}$ .

Or votre fonction $\text{[math]}$ , bien qu'elle respecte la relation fonctionnelle (sauf double erreur de calcul), fournit (sauf erreur de calcul) $\text{[math]}$ , ce qui voudrait dire que votre fonction ne respecte la relation fonctionnelle que pour $\text{[math]}$ ? C'est-à-dire $\text{[math]}$ ou encore $\text{[math]}$ ....

Et aussi, et surtout, comment avez-vous trouvé $\text{[math]}$ ? Intuition? essais-erreur? ou méthode?

geometrodynamics_of_QFT · 07/03/2016, 13h54

De plus, en $\text{[math]}$ votre fonction n'est pas définie...

**Médiat** · 07/03/2016, 14h15

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Et donc on a bien $\text{[math]}$

Vu la forme de votre fonctionnelle, se demander si un polynôme de degré 2 ne conviendrait pas m'a paru naturelle (si f est polynomiale, le terme de plus haut degré disparaît)

**Médiat** · 07/03/2016, 14h16

Si h = 0, votre fonctionnelle devient x = 0, ce qui n'est pas très fonctionnel

geometrodynamics_of_QFT · 07/03/2016, 14h18

Envoyé par Médiat

$\text{[math]}$

Désolé, mais j'ai $\text{[math]}$ ...(lol)

et $\text{[math]}$ .

**Médiat** · 07/03/2016, 14h24

Oui, c'est bien f'(x) =x/h +1/2 (j'ai modifié mon post afin que cela soit plus lisible) mais cela ne change rien au résultat puisque f'(x+h) = (x + h)/h + 1/2

geometrodynamics_of_QFT · 07/03/2016, 14h31

Envoyé par Médiat

Oui, c'est bien f'(x) =x/h +1/2 (j'ai modifié mon post afin que cela soit plus lisible) mais cela ne change rien au résultat puisque f'(x+h) = (x + h)/h + 1/2

Merci, donc ok, votre fonction respecte la relation et ses dérivées, et il n'y a pas de méthode toute faite pour la trouver.

J'avais pris $\text{[math]}$ au lieu de $\text{[math]}$

Pourquoi la première est-elle fausse? Pourquoi $\text{[math]}$ ?

Je vous remercie pour votre aide.

**Médiat** · 07/03/2016, 14h40

Je ne vois pas de problème :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

geometrodynamics_of_QFT · 07/03/2016, 15h02

M'enfin c'est fou...
à quel ligne fais-je une erreur dans les égalités ci-dessous?

$\text{[math]}$

donc
$\text{[math]}$

Mais
$\text{[math]}$

??? !!!

**gg0** · 07/03/2016, 15h10

La dérivée de 2h² est 0 !!!

geometrodynamics_of_QFT · 07/03/2016, 15h13

Envoyé par gg0

La dérivée de 2h² est 0 !!!

Jizès Kwaïst!!
Wow -____-' ...quelle erreur, et je suis passé au moins 3x dessus dans la voir lol
merci gg0 (et Mediat)

geometrodynamics_of_QFT · 07/03/2016, 15h29

C'est marrant parce que:

Pour $\text{[math]}$ , si on considère maintenant $\text{[math]}$ arbitraire:

Alors $\text{[math]}$ et en prenant la limite pour $\text{[math]}$ (puisque h est arbitraire, on le choisit très petit) :

$\text{[math]}$

est-ce que le $\text{[math]}$ est lié à la fonction "trouvée sans méthode" $\text{[math]}$ ?

Pour laquelle on a $\text{[math]}$ ....

geometrodynamics_of_QFT · 07/03/2016, 15h41

Pour info, cette équation m'est apparue en cherchant une méthode pour calculer $\text{[math]}$ ...y'a du progrès non? :-p

(en passant par là)

si vous voulez vous joindre à l'aventure ^^

Equation fonctionnelle