Cours sur les couples de variables aléatoires (proba)

[Perfectina]

Bonjour.

J'ai emprunté un livre dans lequel il y a un chapitre sur les couples de variables aléatoires. Cependant, je ne trouve pas certains points que je voudrais éclaircir. Je cherche donc un cours avec des explications plus spécifiques.

Par exemple, si X et Y sont de variables aléatoires, comment calculer P(X=Y) ou P(max(X,Y)>n) (n dans N*) par exemple. Vous voyez ?

Ou encore, où l'on a une variable aléatoire Z qui dépend de deux autres variables aléatoires X et Y, et prend ses valeurs selon celles-ci. On doit trouver la loi de Z selon les valeurs prises.
Un exemple, X une variable aléatoire de loi géométrique, Y de loi binomiale. Z vaut X si X=0, Y sinon.
C'est un exemple. Je croise bcp d'exercices dans cet esprit que je n'arrive pas à faire par absence de cours. J'espère que vous m'avez comprise.

Je cherche un cours en ligne depuis tout à l'heure, qui expliquerait ces deux points, sans succès. Si quelqu'un pouvait me trouver un cours, je lui en serai extrêmement reconnaissante.

Je bosse en autodidacte.

Merci par avance.
Bonne journée.
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[God's Breath]

Pour les premières questions, il faudrait des exemples plus précis.

Une méthode classique est l'utilisation du système complet des événements lorsque décrit l'ensemble des valeurs prises par .
Par exemple :



Pour les inégalités, il vaut mieux travailler avec les fonctions de répartitions, et ne pas oublier qu'il suffit de passer à l'événement contraire pour changer le sens des inégalités :



mais : .

Pour ta dernière question la définition même de conduit naturellement à utiliser système complet des événements (bizarre, une loi géométrique est à valeurs dans ) et :

[Perfectina]

Merci bcp pour ta réponse très claire. J'ai compris le premier point.

En effet pour le dernier point mon exemple était n'importe quoi. Mais par exemple si X est de loi binomiale et Y de loi uniforme, Z est égal à Y quand X=0, et à X sinon. C'est un peu mieux déjà ^^ Mais j'ai compris !

Pour le deuxième point c'est un peu plus confus pour moi, je n'ai pas encore vu les fonctions de répartitions, je vais étudier ça plus précisément.
Donc pour calculer P(max(X,Y)>n), on doit passer à l'événement contraire et inverser le sens des inégalités ? J'ai plus de mal à comprendre...

[God's Breath]

Le truc c'est que la considération d'un max (ou d'un min) impose le sens des inégalités que l'on peut manipuler.

On dispose de l'équivalence : (le plus lourd de deux individus fait moins de 64 kg si, et seulement si, les deux individus font moins de 64 kg).

Mais on peut difficilement caractériser (si le plus lourd de deux individus fait plus de 64 kg, cela ne nous dit rien sur le plus léger).

Pour un min, c'est l'inverse : , mais se caractérise mal.

On est donc contraint, dans certains cas, d'utiliser un sens bien précis d'inégalité.
Si on veut travailler sur les inégalités dans l'autre sens, il faut passer au complémentaire parce que la négation de est , et on utilise le sens d'inégalité qui est praticable.

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

(...) je n'ai pas encore vu les fonctions de répartitions, je vais étudier ça plus précisément.

alors, sans vouloir t'offenser je dirais que tu mets un peu la charrue avant les boeufs. Il faut commencer par maîtriser les variables aléatoires 'simples" (réelles ou entières) avant de s'attaquer aux variables aléatoires sur des espaces plus "compliqués" (comme R^2).

[Perfectina]

Merci beaucoup God's Breath !

minushabens, tu as probablement raison. Je vais apprendre les fonctions de répartitions bientôt !

[Perfectina]

Re-bonjour.

Je reviens sur l'exercice suivant puisque je me replonge dans les probabilités : X et Y indépendantes, X est une variable aléatoire de loi binomiale B(n,p) et Y de loi uniforme dans {1,...,n}.
Z est défini par X si X=/=0 et par Y sinon.

Selon les explications de God's Breath, j'ai fait : P(Z=a) = P(X=0)P(Y=a)+P(X=/=0)P(X=a) = P(X=0)P(Y=a)+(1-P(X=0))P(X=a) = (1-p)^n * 1/n + 1-(1-p)^n * C(n,a) p^a (1-p)^(n-a).

J'ai remplacé dans la formule les valeurs de X=a pour une loi binomiale de paramètre (n,p)... J'aimerais savoir si c'est juste ?
On nous demande ensuite de calculer l'espérance de E[Z]. Doit-on dire que celle-ci vaut np lorsque X=/=0 et a/n lorsque X=0 ?

Merci d'avance... J'ai l'impression de me mélanger les pinceaux...

[God's Breath]

Je ne vois pas le rapport entre :

P(Z=a) = P(X=0)P(Y=a)+P(X=/=0)P(X=a) = P(X=0)P(Y=a)

et mon indication :

dont on déduit :

avec le problème, pour que les événements et ne sont pas indépendants.

On a donc, pour :

et, pour :

[Perfectina]

Merci bcp !
En fait dans ce sens j'ai compris, mais l'énoncé ici nous dit que :

Z :=
X si X=/=0
Y sinon (donc si X=0)

Donc c'est le contraire (on inverse X et Y par rapport aux valeurs de X) du premier énoncé, et c'est un peu plus délicat...

J'en étais à P(Z=a) = P(Z=a,X=0) OU P(Z=a,X=/=0) = P(Y=a,X=0) OU P(X=a,X=/=0) = P(Y=a,X=0) + P(X=a,X=/=0).
Effectivement tu as raison, X=a et X=/=0 ne sont pas indépendantes ici.

Mais même en suivant ton raisonnement, ici ça va coincer pour a=/=0 où l'on va trouver P(Z=a)=P(X=/=0,X=a)... qui ne sont pas indépendantes...

[God's Breath]

pour a=/=0 où l'on va trouver P(Z=a)=P(X=/=0,X=a).

C'est faux! Relis la définition de Y.

[God's Breath]

Je reviens sur l'exercice suivant puisque je me replonge dans les probabilités : X et Y indépendantes, X est une variable aléatoire de loi binomiale B(n,p) et Y de loi uniforme dans {1,...,n}.
Z est défini par X si X=/=0 et par Y sinon.

La première chose à faire est de déterminer l'ensemble des valeurs prises par les variable aléatoire Z.

On sait que :
— X, de loi B(n,p), est à valeurs dans {0,...,n} ;
— Y, de loi uniforme dans {1,...,n}, est à valeurs dans {1,...,n} ;
dont on déduit :
— si X est nul, Z=Y, donc la valeur de Z appartient à {1,...,n} ;
— si X est non nul, Z=X, donc la valeur de Z appartient à {1,...,n} ;
ce qui permet de conclure que Z est à valeur dans {1,...,n}.

Ensuite, pour tout entier k appartenant à {1,...,n} (donc non nul !) :

P(Z=k) = P(X=0)P(Y=k) + P(X=k)

en utilisant l'indépendance de X et Y.

Et une fois la valeur de P(Z=k) connue, le calcul de l'espérance est routinier.

[Perfectina]

Oh la la c'est très très clair ! J'ai absolument tout compris (enfin !), merci beaucoup ! Je reviendrai jeter un coup d'oeil à ce topic sur des exercices similaires.

Bonne fin d'après-midi !