Bonjour, s'il vous plait est ce que sur un ensemble borné le sup d'une fonction est toujours fini??? par exemple si on a A un ss ensemble borné de X
et f(x) <= g(y) + | y - x| avec y dans le domaine de g et g :: X à valeur dans ]- infini, + infini] et f(x) = inf{g(z)+ K |z - x| : Z dans X} K une constante
Merci
Je ne suis pas sur de ce que tu veut dire , je pense que ta question manque de précision, permet moi d'essayer de reformuler . Je suppose que tu parles de fonction a 1 variable réel défini sur un sous ensemble de R quelconque . Par "sur un ensemble borné", je suppose que tu veut dire que les valeurs que prennent ta fonction sur ton ensemble de définition sont bornés et dans ce cas ta question est triviale , car si pour tout x appartenant à D(l'ensemble de définition de f) , il existe m supérieur ou égal à f(x) alors soitBonjour, s'il vous plait est ce que sur un ensemble borné le sup d'une fonction est toujours fini???
soit
Par ailleurs de façon classique une borne sup est toujours un réel puisqu'il s'agit simplement d'un majorant particulier . donc oui soit la borne sup est défini et est un nombre réel soit on ne parle simplement pas de bornes sup.
Peut être que par ensemble borné tu entends que ton ensemble de définition pour f est une réunion fini d'intervalles (ouverts ou fermé , ou semi-ouverts peut importe) et dans ce cas ta question est un peu moins triviale , par exemple si ta fonction est défini sur un intervalle fermé et qu'elle est continu par morceaux sur cet intervalle alors il est toujours possible de définir une borne sup .
Ah bon Merci beaucoup pour votre réponse. une autre question si on a f(x) < g(x) est ce que ceci implique que f(x) < inf f(x) x dans un ensemble ou f et g sont definies
Merci
Il faut vraiment te relire et utiliser la ponctuation pour la clarté avant de poster,
ce serait mieux comme çaest ce que ceci implique que f(x) < inf f(x) xAutrement ta question n'a vraiment aucun sens .est ce que ceci implique que f(x) < inf g(x) , x ect...
à supposer que la deuxième citation soit ta question, alors sans autre hypothèse c'est faux . Encore une fois parce que rien ne nous dit que g(x) soit minorée sur D donc rien ne nous dit que inf g(x), x appartenant à D soit bien définis . Maintenant supposons que g admet bien une borne inf . Dans le cas général ton affirmation est encore fausse , pour t'en convaincre trace une courbe pour g (n'importe laquelle) et une courbe f juste en dessous et qui suis la forme de g (en gros f(x)=g(x)-a avec a proche de 0) . Tu devrais remarquer qu'à part cas très particulier comme les fonctions constante il y a toujours une valeur x pour laquelle f(x) supérieur à inf g .
en espérant t'avoir répondu .
Est ce que toute fonction minorée dans un compact admit un minimum???
Merci
Non.
Il manque le mot magique : continuité
Ah bon oui bien sur; ET récemment j'ai lu un résultat qui dit que toute fonction s.c.i admit un minimum dans compact.
