Produit de deux variables aléatoires

[Perfectina]

Bonjour.

On a U une loi uniforme sur [0,1].
X une loi à densité f(x)=ax^(-1-a).
On les suppose indépendantes.
Soit Y=XU.

Je dois étudier ln(X), ln(U), S=ln(X)+ln(U) et exp(S).

Je bloque sur ln(X)+ln(U) :



Sauf que je ne vois pas comment faire.

J'avais pensé à mais je ne pense pas que la formule soit correcte.

Quelqu'un pourrait éclaircir ma lanterne ?
Merci d'avance.
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[God's Breath]

Bonjour,

C'est un simple problème d'addition de variables aléatoires : si tu connais les lois à densité de U₁ et X₁, quelle est la loi de U₁+X₁ ?

[Perfectina]

Je ne connais pas la formule, mais je sais que lorsque l'on a une variable aléatoire Z=X+Y, que l'on connait la loi de X et celle de Y, on peut faire :

(par exemple)

Ca me semble vachement maladroit comme formule...

[gg0]

Bonjour.

U et X étant indépendantes, pour toutes fonctions convenables f et g, f(U) et g(X) sont indépendantes. Ici, ln(U) et ln(X) sont indépendantes.
Si A et B sont deux variables aléatoires à densité indépendantes, de densités respectives a(t) et b(t), alors A+B a pour densité (a*b)(t) (produit de convolution)
J'espère que tu as ces deux propriétés sous une forme ou sous une autre dans ton cours, sinon, je ne te vois pas redémontrer ces propriétés, même dans les cas particuliers que tu as.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Perfectina]

C'est-à-dire que ?

Je travaille seule donc je n'ai pas forcément toutes les formules, je dois les trouver sur internet.

Pour
Pour

[Perfectina]

Ignorez mon précédent poste. J'ai confondu densité et fonction de répartition...

On a
Donc la densité de ln U est

On a
Donc la densité de ln X est

Et la densité de ln U + ln X est

Est-ce juste ?

[gg0]

Oui, ça va dans le bon sens. mais :
* La densité de U est nulle en dehors de [0,1]
* Dans ton énoncé initial, la loi de X n'est pas clairement définie.

Pour pouvoir faire le produit de convolution, il faut donner les fonctions densité définies sur R tout entier. Par exemple la densité de U peut être notée , elle vaut 0 pour t<0 ou t>1, 1 entre 0 et 1. En passant à U'=ln(U), on voit que la densité de U' est nulle si t>0 (mon t est ton u, je préfère ne pas mélanger les noms de variables).

Cordialement.

[Perfectina]

Oui, c'est vrai qu'on a pas spécifié les domaines d'étude.
Comme tu l'as souligné, la densité de U vaut 1 quand u est dans [0,1], 0 sinon.

Pour X, c'est une loi de densité sur . Et pour que soit une densité de probabilité, il faut que .

[gg0]

Tu auras besoin de tout ça pour définir complétement les lois de ln(U) et ln(X) puis leur produit de convolution.

Cordialement

[Perfectina]

Mais du coup, si u appartient à ]0,1], ln(u) appartient à , c'est bien ça ?
Si x appartient à , ln(x) appartient à
Et lnx+lnu appartient donc à R.

Est-ce juste ? Avant de trouver la fonction de répartition de lnX+lnU et d'entamer l'étude de , j'aimerais d'abord être fixée là-dessus

[gg0]

Oui, c'est tout à fait ça. Bon travail !

[Perfectina]

Merci !

Pour la densité de S=ln(X)+ln(U), je vais l'appeler p, j'avais trouvé à 14h13 .

Elle existe uniquement si
Dois-je l'évaluer sur R ? Je m'assure de ne pas avoir fait d'erreurs !

[gg0]

Il doit y avoir des erreurs, car par exemple, pour alpha=2, ta probabilité P(S<=s) est décroissante. Je ne sais pas vraiment qui est S, ni ce que tu veux faire. Je doute aussi fortement de la possibilité de réutiliser le résultat du message #6, qui ne tenait pas compte des domaines de valeur de U et X. Et j'ai bien l'impression que tu as fait un produit simple, pas un produit de convolution ! Si tu ne sais pas ce qu'est un produit de convolution, bien évidemment, ce n'est pas la peine d'utiliser cette voie qui en utilise obligatoirement un.

Cordialement.

[Perfectina]

Bonjour.

J'ai peut-être mal compris, mais je ne vois pas comment on peut définir les lois de ln(U) et de ln(X) (même en connaissant leurs domaines de valeurs) sans passer par les lois de U et de X. Je vais appeler a et b leurs densités respectives (et je ne changerais plus ces noms !).

On sait que le domaine de valeurs de U est ]0,1], celui de ln(U) est :

La densité de ln U est donc

Je vérifie sur le domaine de valeurs de ln(U) : .
On retrouve la même chose que précédemment.

Pour ln(X), je procède de la même façon :

La densité de ln(X) est donc

Je vérifie sur le domaine de valeurs de ln(X), je trouve bien

Pour ln(X) et ln(U), est-ce juste ou j'ai mal compris un point ?

Par contre pour S=ln(X)+ln(U) je vois bien mon erreur, j'ai en effet fait un produit simple plutôt qu'un produit de convolution...
Je vais noter p la densité de S.

Par définition du produit de convolution :


J'ai donné les détails de mon calcul. Je n'ai pas mis de bornes au cas où ce soit faux.

[gg0]

"La densité de ln U est donc "
Non ! Elle est pour u<=0 et a(u)=0 pour u>0.
Si tu n'en ties pas compte, tu ne fais pas le bon produit de convolution, qui est d'ail:leurs une intégrale sur tout entier, pas une primitive; et la fonction e^u n'est pas intégrable sur .

Cordialement.

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Je ne cherche pas à intervenir dans ce sujet théorique, simplement, je voudrais dire que ce type de problème se pose, par exemple dans le calcul de la précision du résultat du calcul du type U = R.I.
On mesure R et I avec une certaine précision, quelle est la précision obtenue sur U ?

[Perfectina]

Elle est a(u)=e^u pour u<=0 et a(u)=0 pour u>0
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J'ai enfin compris mes erreurs !

Et du coup c'est pareil pour quand x>=0 et b(x)=0 quand x<0.

Merci beaucoup !