Laplacien, dérivée au sens des distributions de fonction discontinues sur une surface

[freemp]

Bonjour,

Ça rejoint un précédent topic que j'ai écrit mais voici le cœur de mon problème.

Je travaille avec le bouquin mathématique pour physicien de Walter Appel.

Voici mes deux questions.

La première : On cherche à calculer la dérivée d'une distribution régulière f qui a un saut sur une surface mais qui est continue et dérivable en dehors de cette dernière. La fonction f va donc de R^3 dans R

Le résultat :



Où la dérivée de la distribution entre accolade veut dire "on dérive comme si c'était une fonction normale".


La démo (si vous la connaissez déjà vous pouvez sauter cette partie) :

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Je réalise une IPP sur : :

Ici je travaille à y et z fixés, et on a donc une discontinuité suivant x, on coupe donc en deux :

=

Puis par IPP j'ai alors :



Et donc :



Et dans ce dernier terme, dans le bouquin on réalise un changement de variable pour se placer dans un repère lié à la surface.

Donc : (l'angle étant celui entre l'axe Ux et la normale à la surface).




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Maintenant, ce que je ne comprends pas c'est que dans le bouquin que j'étudie, ils disent que :

(sigma étant le terme de saut).

Or par définition.

Et on voit donc bien que en appliquant directement la définition, le terme que j'ai c'est plutot non ?

Je poserai mon autre question dans un message juste après dans ce même topic sinon j'ai peur que ça fasse indigeste.

Merci !
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[freemp]

Je reformule peut être ma question de manière plus synthétique mais le développement est dans le message ci dessus :

Pourquoi on a :



Où cos(theta) est l'angle entre la normale à la surface et Ux et sigma le terme de saut de la fonction.
est le "dirac surfacique".

Pour moi si on fait un changement de variable pour se ramener à un parametrage plus adapté à la surface on a certes un cos(theta) qui sort mais on a aussi phi qui devient phi "rond" psi (où psi est le changement de variable associé à ce paramétrage).

Merci !