Smash-produit de deux espaces topologiques pointés.

[invite52487760]

Bonjour à tous,

En se basant sur le contenu du lien wiki suivant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Smash-produit , quelqu'un svp, peut -il me dessiner visuellement le Smash - produit de deux espaces topologiques pointés et défini par : ?

Merci d'avance.
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[invite90034748]

Je ne connais pas le smash product. Cependant je peux expliquer l'exemple de wikipedia : soit le cercle. Alors .

En faisant le dessin, on quotiente le tore par les deux cercles qui génèrent . En quotientant d'abord par le petit cercle, on voit qu'on obtient un "croissant" (topologiquement, une sphère où on a recollé le pôle sud et le pôle nord). En requotientant par le long du grand cercle, on voit qu'on obtent cette fois ci une sphère. Les dessins ne sont pas très compliqués à faire.

Mais il y a une interprétation beaucoup plus simple pour le tore : tu peux voir le tore comme avec les identifications classiques du bord. Alors, les deux cercles par lesquels on quotiente sont simplement l'image dans le quotient de et . Donc on voit que le double quotient du carré (d'abord en identifiant les côtés pour obtenir un tore, ensuite en identifiant tout le bord ensemble pour obtenir le smash product) est simplement un carré où tout les points du bords ont été recollés ensemble, ce qui donne bien la sphère.

On peut aussi définir la suspension d'un espace comme son "wedge product" avec un cercle (exercice).

Finalement je crois que les smash products sont surtout utiles à cause de leur propriétés d'adjonction. Je n'en sais pas vraiment plus.

[invite90034748]

(edit : lire smash product et non wedge product à l'avant dernière ligne !)