[HELP] Equation de surface

[globlin]

Bonjour,
Je cherche une méthode pour définir une équation (avec une erreur relativement faible) à partir d'une plage de données 3D. Je m'explique: J'ai une série de résultats qui dépendent de 2 variables (5x11 résultats). Le tout forme donc une plage de données avec 2 variables d'entrée et un résultat réel en sortie. En représentant la courbe 3D, je me rends compte qu'il s'agit s'une surface relativement complexe mais relativement continue aussi.

Mon étude consiste à définir mathématiquement la variation du résultat pour cette plage de donnée puis de l'adapter plus généralement à d'autres valeurs.

Ma question: existe-t-il une méthode pour paramètrer pour équation? Si oui laquelle?

A savoir aussi:
• j'ai déjà essayé l'approche f(x,y)=g(x)*h(y) avec g un polynôme et h une exponentielle, je cherche une autre approche.
• Mes variables x et y sont des distances. Donc positives absolues. La méthode différentielle me perturbe dans le sens où je ne vois ce que serait la dérivée par rapport à une distance.

Merci pour votre aide
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[Dlzlogic]

Bonjour,
Difficile de vous donner un avis ou une indication sans voir les données. D'autant que votre explication n'est pas très claire.
Vous parlez de 3D, puis de variable X et Y en entrée et un résultat réel en sortie.
Puis vous parlez de courbe 3D. C'est une courbe ou un surface ?
Autre question, les ordres de variation de la valeur en sortie sont il du même ordre que ceux des X et Y, on nettement plus petits ?
Qu'appelez-vous "variation du résultat" ?
Ce serait peut-être plus simple de dire exactement de quoi il s'agit.

[globlin]

Il s'agit de fréquence de résonnance d'un socle. Les variables en entrée sont les dimensions du socle. En sortie on retrouve la fréquence de résonnance. Forcément du coup, les ordres de grandeurs entre les variables d'entrée et la fréquence en sortie ne sont pas du tout du même ordre de grandeur.
Effectivement, du coup il s'agirait d'une surface.
Quand je parle de 3D je pense juste aux paramètres X, Y, f(X,Y)... effectivement je comprends que ça puisse être troublant, je m'exprime mal.

Typiquement, les données que je dois paramétrer sont:

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je vous propose la formule suivante :
Le meilleur 2 A=-616. B=56.4 C=405. (emq=55.66)
formule : Z = A * ln(X) + B * Y + C (ln(...) = logarithme naturel)

Dans le tableau que vous donnez, la valeurs de fréquence sont données avec 5 chiffres significatifs. Cela me parait assez contradictoire avec la précision du résultat. êtes-vous sûr de vos données ?
Voila le résultat de l'application de la formule
N° 1 X= 0.50 Y= 1.00 --> Z=888.45
N° 2 X= 0.50 Y= 1.50 --> Z=916.66
N° 3 X= 0.50 Y= 2.00 --> Z=944.87
N° 4 X= 0.50 Y= 3.00 --> Z=1001.29
N° 5 X= 0.60 Y= 1.00 --> Z=776.16
N° 6 X= 0.60 Y= 1.50 --> Z=804.38
N° 7 X= 0.60 Y= 2.00 --> Z=832.59
N° 8 X= 0.60 Y= 3.00 --> Z=889.01
N° 9 X= 0.70 Y= 1.00 --> Z=681.23
N° 10 X= 0.70 Y= 1.50 --> Z=709.44
N° 11 X= 0.70 Y= 2.00 --> Z=737.65
N° 12 X= 0.70 Y= 3.00 --> Z=794.07
N° 13 X= 0.80 Y= 1.00 --> Z=599.00
N° 14 X= 0.80 Y= 1.50 --> Z=627.21
N° 15 X= 0.80 Y= 2.00 --> Z=655.42
N° 16 X= 0.80 Y= 3.00 --> Z=711.84
N° 17 X= 0.90 Y= 1.00 --> Z=526.46
N° 18 X= 0.90 Y= 1.50 --> Z=554.67
N° 19 X= 0.90 Y= 2.00 --> Z=582.88
N° 20 X= 0.90 Y= 3.00 --> Z=639.30
N° 21 X= 1.00 Y= 1.00 --> Z=461.57
N° 22 X= 1.00 Y= 1.50 --> Z=489.78
N° 23 X= 1.00 Y= 2.00 --> Z=518.00
N° 24 X= 1.00 Y= 3.00 --> Z=574.42
N° 25 X= 1.20 Y= 1.00 --> Z=349.29
N° 26 X= 1.20 Y= 1.50 --> Z=377.50
N° 27 X= 1.20 Y= 2.00 --> Z=405.71
N° 28 X= 1.20 Y= 3.00 --> Z=462.13
N° 29 X= 1.40 Y= 1.00 --> Z=254.36
N° 30 X= 1.40 Y= 1.50 --> Z=282.57
N° 31 X= 1.40 Y= 2.00 --> Z=310.78
N° 32 X= 1.40 Y= 3.00 --> Z=367.20
N° 33 X= 1.60 Y= 1.00 --> Z=172.12
N° 34 X= 1.60 Y= 1.50 --> Z=200.33
N° 35 X= 1.60 Y= 2.00 --> Z=228.54
N° 36 X= 1.60 Y= 3.00 --> Z=284.97
N° 37 X= 1.80 Y= 1.00 --> Z= 99.59
N° 38 X= 1.80 Y= 1.50 --> Z=127.80
N° 39 X= 1.80 Y= 2.00 --> Z=156.01
N° 40 X= 1.80 Y= 3.00 --> Z=212.43
N° 41 X= 2.00 Y= 1.00 --> Z= 34.70
N° 42 X= 2.00 Y= 1.50 --> Z= 62.91
N° 43 X= 2.00 Y= 2.00 --> Z= 91.12
N° 44 X= 2.00 Y= 3.00 --> Z=147.54
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Bien-sûr je peux vous donner touts les détails et explications, mais ça risque d'être un peu long.

[A voir en vidéo sur Futura]

[globlin]

Merci! mais en fait je cherchais surtout une méthode d'analyse...
Comment as-tu trouvé ton résultat?

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je sais essayer d"être clair.
Je suppose connue la méthode de régression linéaire en 2D. Par un ou de changements de variable [X=ln(x)], on a 4 formules possibles.
La forme générale du résultat sera toujours y=f(x) et deux paramètres a et b.
On calcule les 4 fonctions et on choisi le meilleure.

En 3D, la méthode est la même, sur le principe. La fonction à adopter s'écrit toujours z=f(x,y) et trois paramètres.
On calcule les 8 fonctions et on choisi la meilleure.

Certainement très long à faire à la main, mais j'ai appris la méthode à ma machine et elle se débrouille toute seule.
Bonne journée.

[globlin]

Merci pour ta réactivité, je ne connaissais pas cette méthode.
Ceci dit, en représentant la surface, on se rend très vite compte que nous ne sommes pas du tout en présence d'un problème linéaire! Aussi, avec le modèle déjà établi - que j'essaie d'optimiser- (combinaison de ln(a) et polynome pour h) donne une erreur inférieure à 10%; j'essaie de faire en sorte que mon erreur maxi soit encore plus petite! L'équation obtenue avec ta méthode donne une erreur max de 20%.

Existe-t-il une méthode de résolution en cas de non linéarité du problème? Je suis en train de me renseigner sur les hypersurfaces; mais j'avoue que je me sens un peu dépassée...

[Dlzlogic]

Bonjour,
A mon avis, le problème peut se poser de la façon suivante. On a une série d'observations. On pose comme hypothèse que les fonctions sont monotones dans l'intervalle considéré. En fait rien ne permet de l'affirmer.
Si je prends l'exemple des valeurs étudiées. On peut tracer un graphique, façon abaque, et observer la monotonie. Si on constate une anomalie, on peut toujours refaire le calcul avec 2 ou 3 intervalles de définition.
Mon outil est fait pour résoudre la majorité des cas, l'avantage de ces courbes est qu'on résout à peu près tous les cas de figure, tant qu'on reste dans les hypothèses de base.

Je vais être un peu plus précis sur les détails.
1- on décide provisoirement que la fonction à trouver est f.
2- pour tous les groupes de valeurs observés, on écrit la relation sous forme d'une équation, où les inconnues sont a, b, c ... les coefficients de la fonction. On obtient donc un système de M équations à N inconnues et M > N.
3- la méthode des moindres carré consiste à dire que la solution la plus probable est celle qui minimise la somme des carrés des écarts.
4- on écrit cela en calculant les dérivées partielles et on obtient, après calcul, un système linéaire de N équations à N inconnues, que l'on résout facilement.
5- C'est fini.

Pour un grand nombre de variables (jusqu'à 16), j'ai une méthode similaire, mais la monotonie est toujours nécessaire. Si on veut résoudre d'autre cas, on ne pourra pas utiliser cette méthode générale, puisqu'il faut connaitre la fonction à utiliser. Ca peut être une fonction du 3è ou 4è degré, une fonction trigo ou un mélange de tout ça.
Je pense que passer par une représentation façon abaque est une méthode pour dégrossir le problème.

[Dlzlogic]

Bonjour,
J'ai reporté les 44 points sur un graphique. Les trois courbes sont très proches.
Je dois avouer qu'il y avait des erreurs de recopie, Voila la nouvelle version
Le meilleur 7 A=-1.31 B=0.152 C=5.80 (emq=49.76)
formule : Z = X ^ A * exp(B * Y) * exp(C) (exp(...) = puissance de e

N° 1 X= 0.50 Y= 1.00 --> Z=954.51
N° 2 X= 0.50 Y= 1.50 --> Z=1029.80
N° 3 X= 0.50 Y= 2.00 --> Z=1111.02
N° 4 X= 0.50 Y= 3.00 --> Z=1293.19
N° 5 X= 0.60 Y= 1.00 --> Z=751.38
N° 6 X= 0.60 Y= 1.50 --> Z=810.64
N° 7 X= 0.60 Y= 2.00 --> Z=874.58
N° 8 X= 0.60 Y= 3.00 --> Z=1017.98
N° 9 X= 0.70 Y= 1.00 --> Z=613.75
N° 10 X= 0.70 Y= 1.50 --> Z=662.16
N° 11 X= 0.70 Y= 2.00 --> Z=714.38
N° 12 X= 0.70 Y= 3.00 --> Z=831.52
N° 13 X= 0.80 Y= 1.00 --> Z=515.08
N° 14 X= 0.80 Y= 1.50 --> Z=555.71
N° 15 X= 0.80 Y= 2.00 --> Z=599.54
N° 16 X= 0.80 Y= 3.00 --> Z=697.84
N° 17 X= 0.90 Y= 1.00 --> Z=441.31
N° 18 X= 0.90 Y= 1.50 --> Z=476.11
N° 19 X= 0.90 Y= 2.00 --> Z=513.67
N° 20 X= 0.90 Y= 3.00 --> Z=597.89
N° 21 X= 1.00 Y= 1.00 --> Z=384.31
N° 22 X= 1.00 Y= 1.50 --> Z=414.62
N° 23 X= 1.00 Y= 2.00 --> Z=447.33
N° 24 X= 1.00 Y= 3.00 --> Z=520.67
N° 25 X= 1.20 Y= 1.00 --> Z=302.52
N° 26 X= 1.20 Y= 1.50 --> Z=326.38
N° 27 X= 1.20 Y= 2.00 --> Z=352.13
N° 28 X= 1.20 Y= 3.00 --> Z=409.86
N° 29 X= 1.40 Y= 1.00 --> Z=247.11
N° 30 X= 1.40 Y= 1.50 --> Z=266.60
N° 31 X= 1.40 Y= 2.00 --> Z=287.63
N° 32 X= 1.40 Y= 3.00 --> Z=334.79
N° 33 X= 1.60 Y= 1.00 --> Z=207.39
N° 34 X= 1.60 Y= 1.50 --> Z=223.74
N° 35 X= 1.60 Y= 2.00 --> Z=241.39
N° 36 X= 1.60 Y= 3.00 --> Z=280.97
N° 37 X= 1.80 Y= 1.00 --> Z=177.68
N° 38 X= 1.80 Y= 1.50 --> Z=191.70
N° 39 X= 1.80 Y= 2.00 --> Z=206.81
N° 40 X= 1.80 Y= 3.00 --> Z=240.73
N° 41 X= 2.00 Y= 1.00 --> Z=154.73
N° 42 X= 2.00 Y= 1.50 --> Z=166.94
N° 43 X= 2.00 Y= 2.00 --> Z=180.10
N° 44 X= 2.00 Y= 3.00 --> Z=209.64
---------------------------------------------
La formule semble très différente, mais l'écart-type sur l'ensemble est 49.76 au lieu de 55.66.
Dans le cas présent, au vu le la représentation graphique, il serait peut-être préférable de calculer la régression indépendamment pour les 4 valeurs de a (1, 1.5, 2 et 3) et donc avoir 4 fonctions, quitte à interpoler pour trouver une valeur pour a= 2.4, par exemple.
Si vous voulez, je peux scanner le graphique.
Bonne journée.

[Dlzlogic]

Re,
Votre exemple est vraiment intéressant. J'ai fait le calcul en prenant successivement les quatre valeurs de 'a'. Les résultats sont presque parfaits.
La conclusion est simple : l'espace étudié est une bande fine, et non une grande surface.
Donc, dans le cas présent, il est beaucoup plus précis de calculer la régression pour les quatre valeurs de a, et conserver ces quatre fonctions.
Pour a=2 et a = 3, comme les deux fonctions résultantes sont presque équivalentes, j'ai copié des deux résultats.

/* On ne garde que a=1
Ajustement puissance Y=A * X puiss(B) nbpts=11 A = 53.2 B = -0.673 R2 = 0.997 (emq=0.030)

/* on ne garde que a=1.5
Ajustement puissance Y=A * X puiss(B) nbpts=11 A = 96.3 B = -0.753 R2 = 0.997 (emq=0.031)

/* on ne garde que a=2
Ajustement puissance Y=A * X puiss(B) nbpts=11 A = 148. B = -0.813 R2 = 0.998 (emq=0.028)
Ajustement hyper-logarithmique Y=A + B * ln(X)/X nbpts=11 A = 0.0522 B = 72.2 R2 = 0.998 (emq=0.023)

/* on ne garde que a=3
Ajustement puissance Y=A * X puiss(B) nbpts=11 A = 256. B = -0.892 R2 = 0.999 (emq=0.022)
Ajustement hyper-logarithmique Y=A + B * ln(X)/X nbpts=11 A = -0.0530 B = 85.6 R2 = 1.000 (emq=0.011)