Valeurs Propres

[Linda338]

Bonjour,
Voila ça fait quelque jours que j'essaie de comprendre ce que sont les valeurs propres d'une matrice,
il y a une sorte de tautologie dans la définition où on explique que ce sont les racines du polynôme caractéristique et quand on va voir ce que c'est que le polynôme caractéristique où nous explique que c'est le polynôme qui permet de trouver les valeurs propres.

Donc je sais calculer ces valeurs à partir d'une matrice, je comprends aussi que ça permet de calculer pleins de choses plus rapidement comme la trace, le déterminant, l'inverse et j'en passe mais je sais pas, y'a un truc qui me dérange, je ressens comme un vide dans ma tête, qu'il me manque un truc fondamental. Pourquoi valeurs "propres" déjà ? Comment est-on tombé la dessus ? c'est quoi le projet ? Quelqu'un pourrait m'expliquer ça avec des mots simples?

merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Les cours que tu as consulté doivent considérer comme acquise la définition d'une valeur propre :
Soit A une matrice carrée nxn. u est une valeur propre de A s'il existe un vecteur X de R^n tel que A X = u.X
Plus généralement, soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie n. U est une valeur propre de f s'il existe un élément x de E tel que f(x)=u.x. Quelle que soit la base choisie pour E, si A est la matrice de f dans cette base, alors u est aussi un vecteur propre de A.
X (dans le premier cas) et x (dans le deuxième) sont appelés des vecteurs propre de la matrice ou de l'endomorphisme.

Cordialement.

[slivoc]

Bonsoir,
Tout d abord excusez moi de M' inscruster, mais il me semble que dans mon cours de cette année, nous avions vu que u (en reprenant vos notations) est une valeur de propre de f ssi il existe un vecteur x de E non-nul tq f(x)=u.x

Cordialement.

[Linda338]

Désolé mais ça fait toujours pas *tilt!*

J'ai tenté de refaire une pseudo-définition :

On considère un application linéaire

De cette application T découle une matrice A , quand on applique la transformation T à un vecteur , dans certain cas la direction de ne change pas, seule sa taille change :



est alors un vecteur propre et le facteur λ une valeur propre de A

Voila, c'est correcte de présenter les choses comme ça ?
Ou plutôt, est-ce qu'il y a quelque chose de correct là dedans ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Oui, c'est une interprétation. mais la notion de valeur propre est tellement générale que la réserver à cette idée est un peu réducteur. On définit plus généralement les valeurs propres d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension pas nécessairement finie comme le dit Slivoc : u est une valeur propre de f s'il existe x tel que f(x)=u.x.
Et c'est ce qu'il faut fondamentalement en savoir.
Après, on peut faire pas mal de choses, démontrer par exemple :
* si x est un vecteur propre pour la valeur propre u, alors pour tout réel k, k.x est un vecteur propre pour la valeur propre u. de ce fait, f(vect(x))=vect(x)
* l'ensemble des vecteurs propres pour la valeur propre u est un sev de E, stable par f
* etc.

Cordialement.

[slivoc]

Bonjour,
Peut être qu' un exemple géométrique peut vous aider ( cela a été mon cas !)
Soit f un endomorphisme d un ev E (R^n pour simplifier, c est aussi surtout dans lequel nous avons traité nos exercices cette année)
Supposons que les valeurs propres de f soient 1 et -1 et que les sous-espaces propres E(1) et E(-1) ( càd { x dans R^n tq f(x)=x} resp. f(x)=-x ) sont en sommes directe: la somme de leur dimension vaut n, leur intersection étant obligatoirement {0} ( facile à voir).
Alors pour tout x dans R^n il existe un unique couple (u,v) u dans E(1) et v dans E(-1) tq x= u+v. Et alors f devient beaucoup plus simple, en effet: f(x)=f(u+v)=f(u)+f(v), or u dans E(1) donc f(u)=u et v dans E(-1) donc f(v)=-v, d'où f(x)=u-v. En re-appliquant f à f(x) tu obtient x, d ou f•f=Id. Donc par def f est une symétrie !
Un petit dessin dans R^2 est très parlant, en prenant E(1) une certaine droite vectorielle et E(-1) une autre droite( les deux non confondues ).
En espérant t'avoir aidé,
Slivoc

[Linda338]

Bonjour et merci pour vos réponses,

J'ai encore une question, est-ce qu'on peut affirmer ceci :
"Toutes les matrices n'ont pas vocation à être des applications linéaires mais si on demande les valeurs propres de cette matrice c'est forcément qu'elle en est une" ça aussi c'est ~correcte ?

[GrisBleu]

Bonjour

Tout matrice A peut représenter une application linéaire qui à v associe Av
Mais on peut aussi représenter d'autres choses avec des matrices
+ Ex1 : Si A est symétrique, on peut avoir une notion de (pseudo) norme avec ||v||² = vT A v
+ EX2 : Un graph, voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_d%27adjacence

Dans tous ces cas, les notions de valeurs propres amènent de l'information
+ Ex1 : Si toutes les valeurs propres sont positives, c'est une "vraie" norme (qui sera toujours positive)
+ Ex2 : voir https://en.wikipedia.org/wiki/Adjacency_matrix#Spectrum ou https://en.wikipedia.org/wiki/Laplac...ized_Laplacian

Je pense qu'il faut le prendre dans l'autre sens. Si quelque chose se ramène à une matrice, l'étude des valeurs propres fournira surement de l'information dessus

A bientôt

[Linda338]

Oui alors là on mets le doigt sur ce qui m'échappe complètement parce qu'avec cette animation j'arrive plus ou moins à me faire une idée de ce qu'on entends pas valeur propres et vecteurs propres :



En tout cas quand on parle d'applications linéaires... Mais alors avec des matrices d'adjacences dans un graphe là, vraiment, je vois pas ça me paraît purement abstrait