"nombres 'englobants' ou 'ovoïdes' ; 'combinatoire et dénombrement de cercles imbriqués' "

[redrum13]

Merci Mediat!
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[Médiat]

Bonjour,

tel quel ça paraît difficile... à mon avis il faudrait introduire un nouveau symbole (après tout pour trouver des symétriques aux entiers ordinaires on a ajouté le symbole "-"). On pourrait introduire une autre courbe, disons un carré, avec la règle qu'un cercle et un carré s'annulent l'un l'autre quand ils sont extérieurs l'un à l'autre et qu'aucune autre courbe ne les sépare (par exemple). Enfin, c'est à voir, il faut que ça reste associatif, etc.

J'aimerais bien voir la tête des rationnels avec cette définition (et je ne parle pas des complexes )

[Médiat]

Avec une opération non commutative, la théorie de ne doit pas être simple, mais on peut définir la notion de "Ovoïde premier", par exemple :

(()) () est premier, par contre (())(()) est composé puisque (())(()) = ()() * (()).

Il serait intéressant de démontrer l'associativité ou au moins l'associativité des puissances ...

[Médiat]

J'ai vérifié empiriquement, la multiplication semble bien associative et distributive à droite sur l'addition, mais clairement elle n'est pas distributive à gauche sur l'addition.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Il y a un petit problème pour l'associativité de la multiplication.

Tout simplement, pour quelque ovoïdeque ce soit, le multiplier successivement à droite par le vide donne toujours le vide au bout d'un certain nombre d'étapes. Ce qui pose problème car ce nombre de vide ne peut pas être regroupé en un vide puissance n...

[Médiat]

Exact, je n'ai vérifié qu'avec des ovoïdes non vides

[Médiat]

Pour être plus précis ( je représente les ovoïdes avec des () et le séparateur d'opérations par des []) :


alors que

[minushabens]

Il faut donc soit trouver une meilleure définition de la multiplication soit exclure le zéro (si tant est que seul zéro pose problème).

[ulyss]

Mais cette définition de la multiplication est compatible avec celle des entiers en prenant 1 = () ; 2 = ()() ; 3 =()()() ; etc...
Si l'on trouve une autre définition il faudra garder cette compatibilité, sinon on n'aura plus une "extension" de l'ensemble des entiers naturels...

En choisissant l'autre définition de la multiplication que j'avais évoquée précédemment (dans le post auquel j'ai joint un dessin), on a alors le vide comme élément neutre à gauche (pour la multiplication). Le vide est alors aussi absorbant à droite... C'est un peu bizarre...

[ulyss]

En choisissant l'autre définition de la multiplication que j'avais évoquée précédemment (dans le post auquel j'ai joint un dessin), on a alors le vide comme élément neutre à gauche (pour la multiplication). Le vide est alors aussi absorbant à droite... C'est un peu bizarre...

Euh non je me suis trompé : vide neutre à droite et absorbant à gauche...

[Médiat]

Il faut donc soit trouver une meilleure définition de la multiplication soit exclure le zéro (si tant est que seul zéro pose problème).

Est-ce qu'il ne suffit pas de préciser que le vide est absorbant des deux côtés (donc ne suit pas la loi générale)

[redrum13]

Et non, ce ne sont pas les nombres de Catalan, mais je trouve que c'est une bonne façon de "voir" le problème.

Le nombre de Catalan permet de calculer le nombre d'arbres planaires enracinés à n arêtes.
Dans notre cas, il faudrait trouver le moyen de retrancher les symétries.

Par exemple dans notre système ovoîde, à l'ordre 4, (())()() , ()(()) et ()()(()) sont le même et unique élément.

Or, sur un arbre planaire on décompte 3 éléments distincts.

Ce n'est donc pas une symétrie triviale, et à chaque ordre supérieur, doivent apparaitre d'autres symétries du même type.

Mais, comment les dénombrer pour pouvoir les retrancher du nombre de Catalan?

[RoBeRTo-BeNDeR]

J'ai une idée pour peut-être résoudre le problème de la multiplication non associative. Je note * la multiplication comme annoncée dans le premier post et celle que je vais introduire.

Pour un nombre englobant X, on note o[X] l'ordre de X étant le plus grand nombre d'ovoïdes imbriqués l'un dans l'autre.

Par exemple l'ordre de X=( () (()) ) est 3, on remarque alors que multiplier X trois fois à droite par donne 0, on peut aussi définir où l'on effectue les calculs de la gauche vers la droite.

Ainsi je propose que .

Normalement avec cette définition 0 est un élément absorbant à droite et à gauche.

Exemple:

() ( () ) ( () () ) () = () ( () ) * ( () () ) () * ( () () ) () = ( () () ) () ( ( () () ) () ) * ( () () ) () = ( ( () () ) () ( () () ) () ) ( () () ) () ( ( ( () () ) () ( () () ) () ) ( () () ) () ) (et en réorganisant un peu) = () ( () () ) ( () () ( () () ) ( () () ) ) ( () ( () () ) ( () () ( () () ) ( () () ) ) )


De plus, le produit sur les entiers est respecté.

Seul problème, c'est long... Je ne suis pas sûr que l'associativité soit obtenue...

[RoBeRTo-BeNDeR]

Je teste l'associativité:

()() x [ ( () ) x () ( () ) ] = ()() x ( () ( () ) ( () ( () ) ) ) = ( () ( () ) ( () ( () ) ) ) ( () ( () ) ( () ( () ) ) )

[ ()() x ( () ) ] x () ( () ) = ( () ) ( () ) x () ( () ) = ( () ( () ) ( () ( () ) ) ) ( () ( () ) ( () ( () ) ) )

Sur cet exemple ça semble fonctionner...

[ulyss]

Je propose ici de définir une relation d'ordre sur les englobants...

Le nombre entier e (nombre total d'ovoïdes) d'un englobant E est appelé l "ordre" de ce nombre.
D'abord entre deux nombres englobant d'ordres différents, le plus grand est évidemment celui de plus grand ordre e.
Il reste à classer les "englobants" de même ordre.

Pour un nombre englobant on définit les différentes caractéristiques suivantes:
e ou n est l'ordre de ce nombre (le nombre d'ovoïdes)
m est le nombre de "petits cercles" (cercles qui ne comprennent aucun ovoïde) compris dans E0
p est le nombre de "cercles contenus dans aucun autre".
l est le nombre d'étages ou de degrés (nombre maximum de cercles imbriqués les uns dans les autres en partant du plus petit au plus grand)

Ainsi pour E :


On a: e = 5 ; m = 3 ; p = 2 ; l = 3

On dira qu'un englobant E est "monobloc" si p = 1. Pour un "monobloc" on définira l'entier k comme étant la caractéristique p de
l'intérieur de E (E sans le cercle externe)

On définit les deux opérateurs suivants sur les "englobants" :
- la disjonction D : on sépare E en p nombres englobants monoblocs


- l'intérieur I défini pour un monobloc seulement :



Relation d'ordre entre 2 englobants de même ordre :


Intuitivement on dira que l'on classe dans l'ordre des caractéristiques l (nombre d'"étages")
On définira l'ordre par récurrence.
Soit n un entier.
On suppose que tous les "englobants" d'ordre strictement inférieur à n sont classés (avec une relation d'ordre totale)

Soit et englobants d'ordre n.

• si alors on posera

• si alors :

- si ou on considère et
On compare alors et qui sont bien définis (car les englobants d'ordre inférieur à n sont tous classés de manière totale).
L'ordre de classement de et donne le classement de et

- si et alors on considère et
On compare alors et qui sont bien définis pour la même raison que précédemment.
L'ordre de classement de et donne le classement de et
(cela est possible car ces deux maximums sont d'ordre inférieur à n et donc sont classés.)


Pour initier la récurrence on pose :
- n = 2 : (()) > ()()
- n = 3 : ((())) > (()()) > (())() > ()()()

Voilà... je crois que cela permet d'obtenir un ensemble parfaitement ordonné...

Après dans cette définition j'ai mis l'accent sur la caractéristique l (le nombre d'étages ou nombre max de cercles imbriqués), on aurait sûrement pu aussi mettre l'accent sur la caractéristique m (nombre de petits cercles), et ainsi obtenir un autre ordre.

[ulyss]

RoberTo-Bender : Très intéressante votre définition de o[X]... J'y avais pensé aussi, mais sans avoir l'idée de redéfinir la multiplication comme vous le proposez... o[X] est ce que j'appelle la caractéristique l[X] dans mon post précédent....

[ulyss]

Roberto-Bender : avec votre redéfinition de la multiplication () n'est plus neutre à gauche...

Si
.

Alors :
.

un peu problématique...

[ulyss]

Ah non désolé je me suis trompé...

.

(confusion de o[X] et de o[Y] )

[ulyss]

Avec la définitions :
.

Alors :


avec de manière simple :




et




Il y a ainsi le même nombre de facteurs X, Y et Z dans les deux expressions.
Mais comme la multiplication de base * n'est pas commutative, je ne vois pas comment cela peut marcher...
Enfin peut-être y a-t-il une finesse que je n'ai pas vue...

[ulyss]

Bon ma définition précédente de la relation d'ordre n'est pas complètement rigoureuse... mais en l'adaptant un peu on peut y arriver...

Je me pose une question :
A quelle condition deux englobants X et Y commutent-ils pour la multiplication de base * ?

J'ai une petite idée de réponse...

Hormis les entiers naturels usuels () ; ()() ; ()()() ; ....
Qui évidemment commutent.

Je crois qu'un nombre commute avec une puissance de lui-même (car la structure interne est conservée entre un englobant et une de ses puissances).

Mais, hormis les entiers entre eux, est-ce que les englobants commutent uniquement avec une de leur puissance, ou commutent-ils avec d'autres englobants?

On peut probablement tenter de démontrer cela en considérant les différentes caractéristiques des englobants (déterminant leur structure):
nombre de petits cercles de X ne contenant aucun cercle




..
..


en effet multiplier à droite par le vide "0" supprime tous les "petits cercles" de l'englobant...
avec o[X] étant le nombre d'étages ou nombre maximum de cercles imbriqués de X.

Remarque : on utilise ici la multiplication par 0 comme je l'ai indiquée... mais si on suit l'idée de Mediat (qui est très intéressante), en rendant 0 absorbant à droite par la définition même de la multiplication, alors on ne peut plus l'utiliser pour "supprimer" tous les petits cercles...

[ulyss]

Bon pour compléter mon dernier post, je dirais que de manière évidente deux puissances d'un même "englobant" commutent pour *.
De même on a de manière évidente l'associativité de la multiplication pour 3 puissances d'un même "englobant".

[RoBeRTo-BeNDeR]

Avec la définition :


avec de manière simple :




et

Il est vrai que, comme je l'avais pensé, il y des relations assez simples sur l'ordre d'un nombre. Mais il est vrai également que je ne vois absolument pas comment l'on peut démontrer l'associativité si elle est avérée...

[RoBeRTo-BeNDeR]

En utilisant la définition de la multiplication donnée dans un post précédent:

() ( () ) x [ ( () () ) x ( ( () ) () ) ] = () ( () ) x ( ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ) = ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ) ) ( ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ) ) ) ( ( ( ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ) ) ( ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ) ) ) ( ( ( ( ( ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ) ) ( ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ) ) ) ( ( ( ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ) ) ( ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ) ) ) ) ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ) ) ( ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ) ) ) ( ( ( ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ) ) ( ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ) ) ) ( ( ( ( ( ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ) ) ( ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ) ) ) ( ( ( ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ) ) ( ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ( ( ( ( () ) () ) ) ( ( () ) () ) ) ) ) ) ) )

je trouve ce résultat délirant... si vous avez des idées pour alléger les écritures...

[Médiat]

Bonsoir,

On peut représenter une succession de parenthèses (bien formée) par une suite fini d'entiers strictement positifs (les sont le nombre de parenthèses ouvrantes successives et les , les fermantes, plus la suite 00 (certaines de ces suites ne sont pas valides, par exemple on doit avoir ), du coup pour multiplier avec (1ère version de la multiplication, et les 2 éléments non nuls) il suffit de remplacer chaque de la façon suivante . Il me semble qu'avec cette notation, il doit être plus facile de faire certaines démonstrations (comme l'associativité) ; l'addition est juste la concaténation.

Les "entiers sont alors juste les éléments dont tous les et sont égaux à 1.

C'est adaptable à la deuxième multiplication ...

[RoBeRTo-BeNDeR]

Ca me plait beaucoup, seule petite peur, on risque de ne pas savoir si un nombre pris au milieu correspond à une ouverture ou une fermeture.

Pourquoi pas une double suite ou une suite .

Par exemple .

Il y a une condition c'est qu'a chaque étape on ait puisqu'il ne faut pas fermer trop de parenthèses.

Je me lance dans un calcul... j'espère avoir juste.

Voilà ma technique:

, je réécris le premier et je supprime 1 à chaque terme et ajoute des + a ou b +, c'est à dire:

puis je remplace le dollar par la première ou dernière ligne du second donc au final

Je le fais en version classique ici:

() ( ( () ( () ) ) ) * ( () () ) = ( () () ) ( ( ( () () ) ( ( () () ) ) ) ) =

Ca semble être bon! Ouf!

EDIT: sous cette forme... pas simple de réorganiser les ovoïdes pour voir l'égalité de deux nombres...

[ulyss]

Idée très intéressante Mediat !!

Mais juste il faut des conditions supplémentaires sur les suites ai et bj pour éviter les doublons...
Par exemple 1122 et 2211 correspondent au même "englobant" ...

Dans :
https://oeis.org/A000081

Ils donnent une autre façon de représenter ces "englobants" par des suites d'entiers... au niveau du paragraphe EXAMPLE
Mais j'avoue ne pas complètement la comprendre...

RoBeRTo-BeNDeR : je ne crois pas qu'avec votre définition de la multiplication ce soit associatif :
ainsi, en utilisant la notation introduite par Mediat :


Alors que :



Les deux résultats sont différents... si je n'ai pas fait d'erreur

[Médiat]

Mais juste il faut des conditions supplémentaires sur les suites ai et bj pour éviter les doublons...

Oui, c'est pourquoi j'ai écrit que toutes les suites n'étaient pas valides, mais l'idée n'était pas de trouver un isomorphisme entre ovoïdes et ces suites, mais une représentation permettant de faire des démonstrations

Je n'ai pas compris non plus la notation sur OEIS

[ulyss]

Oui, c'est pourquoi j'ai écrit que toutes les suites n'étaient pas valides, mais l'idée n'était pas de trouver un isomorphisme entre ovoïdes et ces suites, mais une représentation permettant de faire des démonstrations

Je n'ai pas compris non plus la notation sur OEIS

Pour obtenir un isomorphisme entre suites et ovoïdes (apparemment mon appellation "englobant" n'a pas d'audience) , on pourrait essayer d'appliquer l'opérateur Disjonction à un ovoïde E (tel que défini précédemment) puis on classe les sous-ovoïdes dans l'ordre décroissant (en utilisant la relation d'ordre que j'ai définie précédemment, de manière non totalement rigoureuse je l'avoue mais adaptable dans l'idée).
Ou si E est monobloc, on applique l'opérateur Intérieur et on classe les sous-ovoïdes aussi dans l'ordre décroissant...
Et ainsi de suite pour les sous-ovoïdes d'ordre supérieur (les intérieurs des différents ovoïdes obtenus par disjonction D)

Enfin j'espère être assez clair...

Du coût il faut trouver une condition sur les ai et bi pour vérifier cela...

[ulyss]

Du coup avec une telle condition de "classement" des sous-ovoïdes l'addition ne se réduit plus seulement à une concaténation, car il faut ré-agencer les sous-ovoïdes du résultat de la concaténation...
On pourrait définir un opérateur "Agencement" défini sur les suites quelconques,
mais vérifiant quand même

pour obtenir une suite correspondant à l'exigence de classement décroissant des sous-ovoïdes....

[RoBeRTo-BeNDeR]

Merci Ulyss pour cet exemple de non associativité. Dommage, ça réglait le problème de 0.

Pour le rangement... regardons sur un exemple (j'utiliserai l'écriture étagée que je trouve plus simple à écrire) :

que je trouve bien rangé.

On aurait égalité avec

Mais aussi avec

Et enfin avec

En gros on ne peut bouger que certains blocs. Je pense que si l'on appelle bloc d'un nombre un sous-nombre de la forme (X) tel que ( ( X ) ) n'apparaisse pas, alors voici les éléments permutables.

Dans mon exemple les blocs sont (()()), (((()())((()())))), (()()) et ((()())). On peut ensuite simplement dénombrer le nombre d'écritures pour ce nombre, ici 2x2.

Mais autant sur les blocs extérieurs il est simple de voir leur placement à partir de leur écriture dans cette forme de tableau (somme des ai égale à la somme des bi à une étape donnée), autant dans les blocs intérieurs... je sèche.