"nombres 'englobants' ou 'ovoïdes' ; 'combinatoire et dénombrement de cercles imbriqués' "

[ulyss]

Bonjour,

Je compte vous présenter ici une idée qui me trotte dans la tête depuis un certain temps.
Voilà , on connaît la suite des entiers naturels : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; etc...
Cette suite peut être représentée par la juxtaposition de formes circulaires ou ovoïdes: cf figure ci-jointe

Elle peut aussi être représentée en englobant successivement les "cercles": cf figure

L'idée m'est venu que l'on pouvait combiner cette façon de juxtaposer et d'englober les ovoïdes successifs. On obtient alors une nouvelle série de figures, auxquelles on peut faire correspondre des sortes de nouveaux nombres que l'on appellera les nombres "englobants". La règle pour construire ces formes ou "nombres englobant" est qu'aucun ovoïde ne doit en couper un autre.

Ainsi avec 1 ovoïde : cf figure

Puis avec 2 ovoïdes on obtient 2 "nombres englobants" d'ordre 2: cf figure

Puis avec 3 on obtient 4 nombres "englobants" d'ordre 3: cf figure


Puis avec 4 ovoïdes on obtient un certain "nombres englobants" d'ordre 4: cf figure

L'ordre de juxtaposition des formes ovoïdales n'a aucune importance, ainsi on peut écrire l'égalité : cf figure

Chaque nombre englobant est caractérisé par plusieurs choses : le nombre de "petits cercles" ne contenant aucun autre cercle, le nombre total d'ovoïdes, et le nombre d'ovoïdes disjoints (ovoïdes qui ne sont inclus dans aucun autre).
Ainsi le nombre englobant alpha (cf figure) est caractérisé par 3 "petits cercles", 5 ovoïdes en tout et 2 ovoïdes disjoints.
La donnée de ces trois nombres caractéristiques ne permet néanmoins pas de définir complètement un "nombre englobant" quelconque.

Remarque : au lieu de prendre des "ovoïdes" on aurait aussi bien pu prendre des lignes fermées dans le plan (à la condition que chaque ligne fermée ne se coupe pas elle-même, et que 2 lignes fermées différentes ne se coupent pas entre elles...) ou des "boules" ou ellipsoïdes ou surfaces fermées non auto-sectionnantes dans un espace à 3 dimensions, ou autres formes dans des dimensions supérieures...

A partir de cette définition on peut définir une loi de composition "additive" en juxtaposant les "nombres englobants" : cf figure

On peut aussi définir une loi "multiplicative" en remplaçant chaque petit cercle du terme de gauche par l'intégralité du nombre englobant de droite comme ici : cf figure


Cette multiplication n'est a priori pas commutative.

Bon bref.
Ensuite on peut probablement définir l'équivalent de l'ensemble des entiers relatifs et de celui des rationnels en quotientant des ensembles produits bien choisis par des relations d'équivalence appropriées...

Que pensez vous de ces idées?
De tels "nombres englobants" existent-ils déjà ?
J'imagine qu'ils doivent correspondre à des notions de topologie basique...
Quelles applications pourraient-ils avoir?

Question : combien existe-il de "nombres englobant" d'ordre n (avec n formes ovoïdes)?
J'avais pensé au nombre de Catalan d'ordre n mais cela ne convient pas...
D'avance merci pour vos réponses et remarques...

Yann Le Brech, né à Lyon



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[ulyss]

Remarque : je n'ai pas dans mon précédent message dessiné tous les "nombres englobants" d'ordre 4...

[Seirios]

Bonjour,

Ce n'est pas tellement une question de topologie, mais plutôt de combinatoire. On peut remarquer que formellement cela revient à considérer des arbres enracinés, dont les sommets sont les ovoïdes et dont les arêtes relient deux ovoïdes dont l'un est inclus dans l'autre sans qu'un troisième ovoïde soit entre les deux (si l'on souhaite que le graphe soit connexe, on peut ajouter une racine commune).

Quelle structure souhaites-tu obtenir en définissant tes opérations ?

[Médiat]

Bonjour,

Je pense avoir trouvé une réponse à la question "combien existe-il de "nombres englobants" d'ordre n (avec n formes ovoïdes)?", mais je suis loin d'être sûr de moi ; si quelqu'un (s) voulait bien faire les listes pour n=4 et même n=5, cela me permettrait, empiriquement, de tester ma formule, et je la posterais, si elle est "validé" par l'expérience.

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

On rencontre cette question en combinatoire sous une forme un peu différente: énumérer les façons de placer n paires de parenthèses en respectant le fait que chaque parenthèse fermante doit être associée à une et une seule parenthèse ouvrante la précédant.

[Tryss2]

On rencontre cette question en combinatoire sous une forme un peu différente: énumérer les façons de placer n paires de parenthèses en respectant le fait que chaque parenthèse fermante doit être associée à une et une seule parenthèse ouvrante la précédant.

Non, ça n'est pas équivalent au problème posé ici.

()(()) est identique à (())() ici, alors que dans la version habituelle, ce sont des configurations distinctes

[redrum13]

Alors si j'ai bien compris cf le schémas.
*As-tu un élément neutre pour l'addition?
* Peux-tu réexpliquer la multiplication?

[Médiat]

On rencontre cette question en combinatoire sous une forme un peu différente: énumérer les façons de placer n paires de parenthèses en respectant le fait que chaque parenthèse fermante doit être associée à une et une seule parenthèse ouvrante la précédant.

Et non, ce ne sont pas les nombres de Catalan, mais je trouve que c'est une bonne façon de "voir" le problème.

[Médiat]

pour l'élément neutre de l'addition (qui est bien absorbant pour la multiplication, on peut prendre le vide (l'absence de ovoïdes).

[minushabens]

()(()) est identique à (())() ici, alors que dans la version habituelle, ce sont des configurations distinctes

ah oui, exact.

[Tryss2]

Redrum13, l'addition n'est pas définie comme ça. Ce que a écrit ressemble plutôt à la multiplication. L'addition, c'est simplement mettre ensemble les deux groupes

pour l'élément neutre de l'addition (qui est bien absorbant pour la multiplication, on peut prendre le vide (l'absence de ovoïdes).

Ce qui est rigolo, c'est que pour la multiplication, le vide est absorbant à gauche, et neutre à droite

[Médiat]

neutre à droite

Il n'est pas absorbant à droite (je n'avais pas fait attention), mais il n'est pas neutre non plus, c'est plutôt () qui est neutre à droite.

si j'ai bien compris la multiplication

[Tryss2]

Ah oui, exact !

Donc () est bien le neutre (à gauche et à droite) pour la multiplication. Par contre il n'y a pas d'élément absorbant à droite.

A noter tout de même que l'on peut retrouver les nombres entiers classique parmi ces "nombres englobants". 1 = (), 2=()(), 3=()()() , etc. Et la multiplication et l'addition sont alors celles usuelles

[ulyss]

Il n'est pas absorbant à droite (je n'avais pas fait attention), mais il n'est pas neutre non plus, c'est plutôt () qui est neutre à droite.

si j'ai bien compris la multiplication

Bonjour,

Oui c'est cela Mediat. Avec cette définition de la multiplication c'est () qui est neutre à droite, alors que a pour effet de "supprimer" tous les "petits cercles".

Effectivement Minushaben on peut représenter les "nombres englobant" avec des parenthèses (mais il faut supprimer les doublons, comme vous l'a fait remarquer Tryss2). Néanmoins le nombre de Catalan n'est pas la bonne réponse ici...

Redrum : Pour définir la multiplication on remplace chaque petit cercle du facteur de gauche par l'intégralité du facteur de droite...

Comme ici :


Merci Seirios, j'avais déjà pensé à la présentation de ces "nombres englobants" avec des parenthèses, mais pas encore avec des graphes...
Si j'ai bien compris votre idée, pour représenter les nombres "englobants" à 3 ovoïdes, on prend un graphe orienté à trois sommet (avec probablement des conditions supplémentaires à imposer aux relations ou "flèches")

Quelle structure pour ces nombres?

Pour l'ensemble muni de la loi + je crois que l'on a un monoïde, c'est-à-dire un demi-groupe avec un élément neutre (le vide).
Pour l'ensemble muni de + et il y a un problème... absence de distributivité de sur +
Donc on n'a ni anneau ni même un annélide...

Pour l'ensemble muni de on a peut-être aussi un monoïde avec () comme élément neutre...

Après est-il possible de définir des opposés, des inverses? (Pour avoir une structure de groupe, d'anneaux, de corps...)
Je ne sais pas trop.

J'ai décompté le nombre de nombres englobants :
n=1 ==> 1
n=2 ==> 2
n=3 ==> 4
n=4 ==> 9
n=5 ==> 20

(Si je ne me suis pas trompé)

DecompteEnglobants.jpg

J'avais pensé définir la multiplication autrement (on reproduit le nombre de droite dans chaque petit "cercle" de gauche en l' "englobant" comme écrit sur l'image ci jointe), mais cela ne convient pas trop (car alors il n'y a plus d'élément neutre pour la multiplication).

[ulyss]

Tout à fait Tryss2... on a ici une sorte d' "extension" des nombres entiers... en définissant ceux-ci comme vous l'avez fait...
C'est là l'intérêt de ce "nouvel ensemble"...

[redrum13]

Je ne comprends pas, si ()() = (()) alors on doit avoir ()+()=()()=(())
Alors quoi?

[ulyss]

On n'a pas l'égalité : ()() = (())

Ce sont deux nombres différents.... ce sont les 2 nombres englobants d'ordre 2 (avec 2 ovoïdes)

[Médiat]

Je pense avoir trouvé une réponse à la question "combien existe-il de "nombres englobants" d'ordre n (avec n formes ovoïdes)?", mais je suis loin d'être sûr de moi

J'avais raison de ne pas être sûr : j'avais oublié quelques symétries et donc ma formule était fausse

[Médiat]

https://oeis.org/A000081

[ulyss]

merci pour le lien, Mediat

Effectivement on peut y trouver diverses manières d'obtenir le nombre voulu (graphes, cercles imbriqués, arbres, etc...)

Comment avez vous fait pour obtenir cette page ? (Moi j'avais fait une recherche 'G**gle' avec "Integer list 1 2 4 9 20" mais sans succès...)

Dans le lien que vous donnez, ils ne donnent pas de formule explicite pour trouver le nombre de figures possibles à n cercles imbriqués...
Apparemment une telle formule n'existe pas, ou reste à découvrir...

[Médiat]

Il y a un moteur de recherche sur le site https://oeis.org

[minushabens]

Après est-il possible de définir des opposés, des inverses? (Pour avoir une structure de groupe, d'anneaux, de corps...)

tel quel ça paraît difficile... à mon avis il faudrait introduire un nouveau symbole (après tout pour trouver des symétriques aux entiers ordinaires on a ajouté le symbole "-"). On pourrait introduire une autre courbe, disons un carré, avec la règle qu'un cercle et un carré s'annulent l'un l'autre quand ils sont extérieurs l'un à l'autre et qu'aucune autre courbe ne les sépare (par exemple). Enfin, c'est à voir, il faut que ça reste associatif, etc.

[ulyss]

On peut aussi tenter de définir ces nombres avec des notions ensemblistes.

On se rappellera de la définition de Von Neumann des nombres ordinaux:

0 = {} (ensemble vide)

n+1 = n ∪ {n}

Un entier positif est ainsi identifié à l'ensemble de ses prédécesseurs sur N. Exemples :

0 = {}

1 = {0} = { {} }

2 = {0,1} = { {}, { {} } }

3 = {0,1,2} = {{}, { {} }, { {}, { {} } }}

4 = {0,1,2,3} = { {}, { {} }, { {}, { {} } }, {{}, { {} }, { {}, { {} } }} }

etc.

Une telle définition permet de définir une relation d'ordre sur les ordinaux par la relation d'inclusion.

On peut essayer de manière similaire de définir les nombres englobants :

E0 = {}

E1 = { {} } = {0}

E2 = { {{{}}}, { {} , {} } } = { {1}, { 0 , 0 } }

E3 = { {{{{}}}}; {{{}} , { {} } } ; {{{{}}} , { {} } } ; {{{}}, {{}}, {{}}} } = { {{1}}; {1 , 1 } ; {{1} , 1 } ; {1, 1, 1} }

Bon je me demande si cette définition est bien rigoureuse et si elle apporte quelque chose...

[redrum13]

C'est complètement fou ce truc n'empêche!
J'essaye de trouver un modèle avec une grille de n*n cases et n boules, grille que l'on fait pivoter et les boules s'accumulent dans un coin puis se réétalent sur une arête, mais ya des cas particuliers
En tout cas ya un centre de symétrie quelque part c'est sur!
Si une boule se trouve au dessus d'une autre, ça veut dire qu'elle est incluse par celle du dessous.

C'ets une façon de former des arbres.

[ulyss]

Ah oui... encore une idée pour représenter tout cela merci (mais je ne saisis pas très bien votre idée).

Apparemment il n'y a pas de formule explicite pour exprimer le nombre de configurations En (ou quantité de "nombres englobants") directement en fonction du nombre n d' "ovoïdes" imbriqués ou juxtaposés.

Mais peut-être est-il possible de trouver une formule de récurrence?

En = f(En-1) ou En = f(E1,E2,...,En-1) ?

Quelqu'un aurait une idée?

[redrum13]

Oui, la récurrence. J'y pensais justement.

[redrum13]

C'est fou il y a émergence d'un élement neutre suivant l'ordre on dirait.
Comme si l'ordre était la dimension d'un espace modulaire.
Bon je me tais...

Si je trouve qque chose de concret je reviens

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour à tous!

il y a bien une formule de récurrence donnée sur le lien de l'OEIS donné par Médiat, seulement, elle est assez difficile.

[redrum13]

Je la comprend pas la formule, qqun pourrait l'écrire en clair en latex svp?

[Médiat]

Bonjour,



signifie "d divise k".