Théorème d'euler et intégral double (Outch....)

[invite60d867d2]

Bonjour,

Je suis à la recherche de deux preuves mathématiques dont l'une implique le théorème d'euler et l'autre une intégrale double. Les voici :

1) Soit deux fonctions des variables x et y, f et g, appartenant à la classe C2 : classe des fonctions continues dont les dérivées partielles d'ordre 1 et d'ordre 2 existent et sont continues. Ces deux fonctions satisfont alors le théorème D'euler, c'est-à-dire que Fxy = Fyx et Gxy = Gyx.

Prouvez que si f et g satisfont les équations de Cauchy-Riemann (delF/delx = delg/dely et delF/dely = -(delg/delx)), alors les fonctions f et g sont harmoniques; autrement dit, chacune vérifie l'équation de Laplace del^2F/delx^2 + del^2F/dely^2 = 0 pour F = F(x,y).

Note :
del = dérivée partielle
La symbolique des équations s'insipire du logiciel maple.


2) À partir d'une intégrale simple, il est possible de trouver une primitive (écrite en nombre fini de termes) pour la fonction e^(-x^2). Trouvez un moyen de calculer int(e^(-x^2),x=0..infinity) en utilisant l'intégrale double et sans passer par un développement en série. Indice : considérez la fonction e^-(x^2+y^2).

Je crois que dans cette situation, je dois trouver l'effet de y et de l'isolé, puis d'utiliser les coordonnées polaires.
Ainsi,
e^-(x^2+y^2) = e^-(p^2)

p = rhô = sqrt(x^2+y^2)

Merci de votre collaboration
Votre aide me sera très utile
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Pour le 1/, il suffit de différentier les équations de Cauchy Riemann, et tu vas tomber sur une dérivée par rapport à xy dans les deux cas.

Pour le 2/, ça a déjà été fait maintes fois sur le forum. Tu dis que l'intégrale au carré, c'est l'intégrale de exp(-x^2-y^2), tu passes en polaire, et tu sors alors un 2 pi * intégrale r exp(-r^2) qui est facilement intégrable.

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rvz, pour une réponse brève

[invite60d867d2]

Ainsi, à l'aide de vos explications j'arrive à ceci :

1)


Je crois que ma démarche est un peu trop simpliste. J'ai bien peur de passer à coter de quelque chose.

2)


Je doute que la réponse soit bonne. Puisque l'intégral de e^(x^2) n'est certainement pas -infinity, mais plutôt +infinity. J'obtiens peut-être cette réponse dû à l'ajout de la variable y^2 pour tomber en polaire.

[invite5e1117d5]

1) Il me semble que dans tes notations

Fxy =

De même pour Gxy.

De mon côté, je pensais que ce que tu appelles théorème d'Euler était celui de Schwartz.

2) Ton changement de variable dans l'intégrale est erroné, tu as oublié de modifier les bornes de l'intégrale


=>

Sinon, tu peux remarquer plus simplement que est une primitive de

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite60d867d2]

1) Il me semble que dans tes notations

Fxy =

De même pour Gxy.

De mon côté, je pensais que ce que tu appelles théorème d'Euler était celui de Schwartz.

Je ne crois pas que dans ma situation, le théorème de Schwartz soit d'une grande utilité. Puisque peu importe l'ordre de dérivation des variables, j'arrive essentiellement au même résultat (0). C'est-à-dire, peu importe si je commence par dériver x ou y le résultat sera équivalent, en l'occurrence 0.

Toutefois, je doute que mon raisonnement est du sens. Puisque selon les fonctions que j'ai choisies je ne satisferais pas aux équations de Cauchy-Riemann, mais seulement à celle de Laplace.

2) Ton changement de variable dans l'intégrale est erroné, tu as oublié de modifier les bornes de l'intégrale


=>

Merci, vous avez effectivement raison. En fait, j'avais oublié de remplacer ma variable u par -x^2, mais la modification des bornes de l'intégrale me semble tout à fait convenable, même mieux. Je vous en suis reconnaissant.

Sinon, tu peux remarquer plus simplement que est une primitive de

En fait, là est mon problème. Comment je fais pour remarquer que est une primitive de ? Est-ce que cela veut dire que découle (ou est équivalente à) de ?

Merci pour votre précieuse aide.

[invite60d867d2]

Également, est-ce que le devant ma fonction indique que l'ajout de la variable y^2 à pour influence de diviser la réponse de mon intégral par 2 ?

[invite5e1117d5]

Bon on reprend

1)



2)

primitive = fonction dont la dérivée vaut ce que l'on cherche

Tu dérives et tu obtiens l'expression désirée

A toi de comparer et de traiter les facteurs numériques comme il faut

[invite60d867d2]

Pour ceux que ça pourrait intéresser, voiçi ce que j'obtiens. Je doute que mon analyse des facteurs numériques soit juste du fait que j'ai aucune idée de la fa^con d'élaborer le traitement de variable.

2)

Graphique de la fonction e^(-x^2-y^2)

On remarque que l'aire sous la courbe est bien infinie et que l'intégrale converge. Ainsi, j'ai déduis que y^2 doublait la valeur de l'intégrale du fait que y à la même primitive que x.


1)


Merci ChromoMaxwell.

[martini_bird]

Salut,

pour le 2),
- varie entre 0 et car est dans le premier quadrant.
- tu as interverti les bornes de l'intégrale en dp à la troisième ligne : pourquoi ?

Sinon et l'intégrale vaut



Cordialement.

[martini_bird]

À partir d'une intégrale simple, il est possible de trouver une primitive (écrite en nombre fini de termes) pour la fonction e^(-x^2).

On peut calculer l'intégrale précédente, mais la primitive n'est pas exprimable à l'aide des fonctions usuelles. Voir la FAQ, message #5.

La primitive de la gaussienne est souvent noté Erf.

Cordialement.

[invite60d867d2]

Salut,

pour le 2),
- varie entre 0 et car est dans le premier quadrant.
Effectivement, erreur de débutant de ma part.

- tu as interverti les bornes de l'intégrale en dp à la troisième ligne : pourquoi ?
Je croyais que je devais intégrer de la plus petite borne à la plus grande. Toutefois, dans la démarche ci-dessous je ne les ai pas inversées.

Sinon et l'intégrale vaut



Cordialement.

Ainsi :


J'obtiens que .
Toutefois, puisque
Alors :
Ainsi, j'ai un beau cercle de rayon et lorsque j'isole y j'arrive nécessairement avec une équation dépendante de x, en l'occurence

Donc, j'ai aucune idée de l'influence d'ajouter y^2. Outre que la réponse soit Pi/4 au lieu de sqrt(Pi)/2. Hypothèse, y double la réponse ?????


Sinon, pour la primitive, j'avais mal transcrit. Il était bien écrit :

À partir d'une intégrale simple, il est impossible de trouver une primitive (écrite en nombre fini de termes) pour la fonction e^(-x^2).

Mais merci beaucoup, j'en apprends beaucoup.

[martini_bird]

Salut,

Outre que la réponse soit Pi/4 au lieu de sqrt(Pi)/2. Hypothèse, y double la réponse ?????

Tu as en fait que



Ce qui explique pourquoi il faut prendre la racine.

Cordialement.

[invite60d867d2]

Merci beaucoup!

Grâce à vos explications, j'ai pu terminer ma preuve et je vous en suis très reconnaissant.

En espérant pouvoir vous aider un jour à mon tour également.

Sincèrement
Zomb