Le livret des contre-exemples

[martini_bird]

Bonjour,

nous le savons tous : les contre-exemples jouent un rôle fondamental dans notre discipline. Voilà donc un fil qui leur est dédié !

Pour toute contribution, veuillez trouver un titre explicite afin de faciliter la recherche dans le sommaire suivant (qui sera mis à jour régulièrement) :

Analyse

• #2 : Des fonctions continues nulle part dérivables
• #3 : Fonctions infiniment dérivables non analytiques
• #9 : Séries convergentes mais dont le produit de Cauchy ne converge pas
• #10 : Fonction intégrable sur mais admettant une sous-suite tendant vers
• #15 : Un contre-exemple à l'unicité des solutions pour une équation différentielle ordinaire
• #16 : Fonctions de classe mais pas
• #18 : Une application continue, bijective à réciproque non continue
• #19 : Exemple d'un homéomorphisme de classe qui ne soit pas un -difféomorphisme
• #20 : Fonction jamais monotone
• #21 : A propos des caractères continu, uniformément continu et lipschitzien des fonctions
• #23 : Convergence simple/uniforme de suites de fonctions
• #26 : Fonction réelle additive non linéaire
• #27 : Fonction réelle non mesurable Lebesgue

Algèbre

• #4 : Anneau intègre noethérien non factoriel
• #5 : Un cas où la décomposition de Dunford ne fonctionne pas
• #11 : Corps de caractéristique finie mais de cardinal infini
• #13 : Exemple de polynômes non nuls admettant un nombre de racines strictement supérieur à leur degré
• #14 : Morphisme simplifiable à droite qui n’est pas une surjection
• #22 : Polynôme non nul ayant une infinité de racines.
• #25 : Différence entre polynôme et fonction polynomiale
• #34 : Anneau principal non euclidien

Topologie

• #6 : Un ensemble connexe mais non connexe par arcs
• #7 : Un ensemble connexe mais non connexe par arcs (bis)
• #8 : Espace localement compact non séparé
• #12 : Une fonction continue de la boule unité dans elle-même n'admettant aucun point fixe
• #17 : Espace de Baire non complet
• #24 : La complétude est une notion strictement métrique.
• #28 : Espace connexe non localement connexe
• #29 : Espace contractile en un point mais non contractile en un autre.
• #33 : Complété d'un connexe par arcs non connexe par arcs
• #38 : Anneau factoriel non principal, anneau factoriel non noethérien
• #40 : Automorphisme de C non continu

Logique

• #39 : Il n'existe pas de théorie logique classique du premier ordre dont les modèles sont les groupes de torsion

Bien à vous.

[18/11/06] MàJ : Le sommaire a été découpé en trois parties pour en faciliter la lecture.
Grâce à vous, le fascicule devient livret.
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[martini_bird]

Des fonctions continues nulle part dérivables.

Soient et deux nombres réels tels que et . Alors la fonction de Weierstrass

est continue et nulle part dérivable sur .

La continuité s'obtient facilement, car la convergence est uniforme. Pour la non-dérivabilité, il y a (beaucoup) plus du travail. On trouvera une preuve partielle (pour et b entier impair) à la page 22 de ce mémoire : Continuous Nowhere Differentiable Functions. Du reste, ce document contient de nombreux autres contre-exemples de fonctions continues mais nulle part dérivables.

Cordialement.

[GrisBleu]

Fonctions infiniment derivables non analytiques

En physiques (ou en sciences de l'ingenieur) il est souvent utiles de faire un developement limite d'une fonction puis de l'approcher, localement, par son DL (a un certain ordre).
Soit
sur
ailleurs.

Il est facile de voir qu'elle est infiniment derivable et qu'en 1 et -1, toutes ses derivees sont nulles.

Pourtant, elle n'est pas nulle autour de 1. Approcher une telle fonction par son DL, C'est faire une erreure relative infinie !

Salut

[invite8b04eba7]

Anneau intègre noetherien non factoriel

L'anneau est intègre, noetherien, mais non factoriel. En effet, l'unicité de la décomposition en facteurs premiers y fait défaut :

et les éléments et ne sont pas associés, c'est-à-dire qu'ils ne se déduisent pas l'un de l'autre par multplication par un élément inversible de l'anneau.

Pour ce qui concerne le caractère noetherien, il suffit de remarquer que cet anneau est isomorphisme à l'anneau quotient , qui, en vertu du théorème de Hilbert, est noetherien.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8b04eba7]

Un cas où la décomposition de Dunford ne fonctionne pas

Plaçons nous dans le corps (ou est une indéterminée), et considérons la matrice suivante :

Supposons qu'il existe une matrice diagonalisable D et une matrice nilpotente N qui commutent telles que A = D+N. Dans ce cas, le spectre de D est égal au spectre de A. Déterminont ce spectre : le polynôme caractéristique de A vaut

Notons une racine de ce polynôme ; elle vérifie , et donc, au vu de la caractéristique, on a

Le nombre est donc racine triple du polynôme caractéristique. Ainsi, D est diagonalisable et n'a qu'une seule valeur propre : c'est donc une matrice scalaire. Puisque n'appartient pas à K, D n'appartient pas à et ainsi la décomposition de Dunford échoue sur ce corps pour cette matrice.

La raison principale pour laquelle la décomposition ne fonctionne pas dans ce corps est que K n'est pas un corps parfait, c'est-à-dire qu'il existe des polynômes irréductibles à coefficients dans ce corps qui ont des racines multiples dans une extension. Les corps finis ou les corps de caractéristique nulle sont quant à eux parfaits, ce qui explique que la décomposition fonctionne dans ces corps.

[martini_bird]

Un ensemble connexe mais non connexe par arcs

Soit le graphe de la fonction , c'est-à-dire la partie de définie par .

L'adhérence de est connexe (comme adhérence d'une partie connexe) mais n'est pas connexe par arcs (il n'existe par exemple pas de chemin entre un point de et un point de ).

Cordialement.

[indian58]

Un ensemble connexe mais non connexe par arcs (bis)

On considère la courbe repérée par l'équation polaire pour et son cercle asymptotique C(O,1).
Alors est connexe mais pas connexe par arcs.

[invite35452583]

Espace localement compact non séparé

X=R U {O'} muni de la topologie suivante :
1) tous les ouverts de R sont des ouverts de X
2) tous les ouverts de la forme suivante U\{0} U {0'} où U est un ouvert de R contenant 0.

[indian58]

Séries convergentes mais dont le produit de Cauchy ne converge pas

Considérons la série de terme , .
Elle converge car c'est une série relevant du critère spécial des séries alternées.

Le produit de Cauchy de cette série par elle-même est une série de terme .
Pour le premier terme, la série converge mais pour le second, elle diverge grossièrement. Donc le produit de Caucy diverge.

[indian58]

Fonction intégrable sur mais admettant une sous-suite tendant vers

La fonction est intégrable sur (car positive et on regarde le long des k) mais tend vers quand n tend vers .

[indian58]

Corps de caractéristique finie mais de cardinal infini


est un corps de caractéristique deux () mais de cardinal infini (les Xⁿ sont deux à deux distincts et sont dans ce corps).

[invite8b04eba7]

Une fonction continue de la boule unité dans elle-même n'admettant aucun point fixe

Le théorème de Brouwer assure que toute fonction continue de la boule unité de Rⁿ dans elle-même admet un point fixe. Plus généralement, on peut remplacer "boule unité" par "convexe compact non vide".

Le résultat est faux en dimension infinie : par exemple, si E désigne l'ensemble des suites réelles de carré sommable, muni de la norme

et B la boule unité fermée de E, alors l'application T définie par

est continue, vérifie et n'a pourtant aucun point fixe.

[indian58]

Exemple de polynômes non nuls admettant un nombre de racines strictement supérieur à leur degré

Considérons défini par P=2X-2X². Alors tout élément de annule P. Ceci vient du fait que n'est pas un corps et que nous ne pouvons pas utiliser la division euclidienne.
Pire, Q=X²-1 admet une infinité de racines dans le corps (non cmmutatif) des quaternions.

[Zheng]

Dans la catégorie des ensembles, tout morphisme, c’est-à-dire dans ce cas-ci toute fonction, simplifiable à droite, est une surjection.

Soit en effet f une fonction de A dans B, telle que pour tout C, et pour toutes fonctions g, h de B dans C, gf = hf entraîne g = h.
Alors f est surjective. Dans le cas contraire, il devrait exister y élément de B tel que pour tout x élément de A, f(x) ≠ y. On peut trouver un ensemble C et deux fonctions g, h de B dans C, telles que g(z) = h(z) pour tout z différent de y, et g(y) ≠ h(y). On a alors gf = hf, pourtant g ≠ h, ce qui contredit l’hypothèse. Donc pour tout z élément de B, il existe x élément de A tel que f(x) = z.

Il en va de même dans beaucoup d’autres catégories, comme celle des espaces vectoriels finidimensionnels sur un corps K, et d’autres.

On pourrait s’attendre naïvement à ce que ce soit vrai en général, mais il n’en est rien, comme le prouve l’exemple suivant : soit, dans la catégorie des anneaux intègres (sans diviseurs de zéro), l’injection « canonique » de Z (anneau des entiers relatifs) dans Q (anneau des rationnels). Il est clair que ce n’est pas une surjection. Pourtant elle est simplifiable à droite. Dans ce cas-ci, la simplifiabilité à droite signifie que tout homomorphisme d’anneau de Q vers un anneau intègre est entièrement déterminé par son action sur les entiers relatifs. (Bien que la démonstration soit élémentaire, ça surprend toujours quand on le dit.)

En effet, soient deux homomorphismes g et h de Q dans un autre anneau intègre, tels que pour tout entier relatif z, g(z) = h(z). Alors, si q est un rationnel quelconque, il existe un entier k tel que kq est élément de Z. On a donc

g(kq) = h(kq) (hypothèse)
g(kq) = g(k)g(q)
h(kq) = h(k)h(q) (puisque g et h sont des homomorphismes)
g(k) = h(k) (hypothèse)

d’où

g(k)g(q) = g(k)h(q)

ce qui implique, puisque l’anneau est intègre, g(q) = h(q). Les deux morphismes sont donc identiques. Ce qui prouve que l’injection « canonique » de Z dans Q est simplifiable à droite, bien que non surjective.

[invite6b1e2c2e]

Un contre-exemple à l'unicité des solutions pour une équation différentielle ordinaire

Le théorème de Cauchy Lipschitz affirme l'existence et l'unicité de la solution d'une EDO du type

dès lors que f est lipschitz en la deuxième variable.

Le théorème de Péano affirme l'existence d'une solution à une telle EDO dès que f est continue. Cependant, l'unicité n'est plus assurée, et c'est l'objet de ce post.

En effet, prenons l'équation

Alors nous avons la famille de solutions suivante :
pour t > a>0 et nulle pour t<a.

__
rvz

[indian58]

Fonctions de classe mais pas

Considérons la fonction définie par et f(0)=0. est de classe
sur mais pas .

[indian58]

Espace de Baire non complet

Une version du célèbre théorème de Baire affirme que tout espace métrique complet est un espace de Baire (toute intersection d'ouverts denses est un ouvert dense ou encore toute réunion de fermé d'intérieur vide est un fermé d'intérieur vide). Cependant la réciproque n'est pas vrai: on peut montrer que muni de la distance usuelle est un espace de Baire bien que non complet.

p.s: merci à evariste_galois et à l'Elément d'Analyse Fonctionnelle de Hirsch et Lacombe.

[GuYem]

Une application continue, bijective à réciproque non continue

L'application [0 , 2Pi[ -> S^1 (le cercle unité de C) qui à un angle t associe exp(it)

[indian58]

Exemple d'un homéomorphisme de classe qui ne soit pas un -difféormorphisme

Considérons la fonction f définie sur par f(x)=x³. C'est une fonction continûment dérivable, bijective de réciproque racine cubique. Cette fonction réciproque n'est cependant pas de classe car elle n'est pas dérivable en 0.

[indian58]

Fonction jamais monotone


Cet exemple s'appelle la courbe de Bolzano et est une courbe "fractale". On considère f₀=Id sur [0,1] puis pour n , on considère la fonction f_n+1 définie sur [0,1] par:

_
_
_
_ f_n+1 est affine sur chacun des intervalles [].

Alors la limite de cette suite de fonctions est une fonction continue, en aucun point dérivable et monotone sur aucun sous-intervalle de [0,1].

[indian58]

A propos des caractères continu, uniformément continu et lipschitzien des fonctions

On sait que d'une part, si une fonction est uniformément continue, alors elle est continue et d'autre part, si elle est lipschitzienne, alors elle est uniformément continue. Les réciproques ne sont pas vraies:
_ la fonction "carré" est clairement continue sur et non uniformément continue sur ce même intervalle;
_ la fonction "racine carré" n'est pas lipschitzienne sur [0,1]
mais y est quand même uniformément continue par le théorème de Heine.

[invite5e1117d5]

Polynôme non nul ayant une infinité de racines.


X²+1 sur le corps H des quaternions

Petite explication :

Le théorème suivant " Soit k un corps commutatif. Et P un polynôme non nul de k[X] de degré d. Alors P admet au plus d racines dans k. " n'est plus valide si le corps n'est plus commutatif.

Le corps des quaternions, dont une définition possible est la suivante. On note {1,i,j,k} la base canonique de l'espace vectoriel . On définit une règle de multiplication sur cet ensemble par









On vérifie que la structure ainsi définie est un corps. On lit directement sur les règles de multiplication que ce corps n'est pas commutatif.

Sur ce corps, on considère le polynôme P = X²+1. Les règles de multiplication donnent déjà 3 racines immédiates que sont i, j et k. On peut montrer à la main, que l'ensemble des racines de ce polynôme est

La démonstration du théorème énoncé au dessus échoue car la formule du binôme n'est pas valable dans un corps non commutatif.

[edpiste]

Convergences simple/uniforme de suites de fonctions

Contre-exemples aux théorèmes de Dini :

Les fonctions définies pour sont croissantes. La suite converge simplement mais pas uniformément sur .

La suite de fonctions définies par pour est croissante. La suite converge simplement mais pas uniformément sur .

Convergence uniforme vs convergence uniforme sur les compacts

Soit une fonction continue à support compact dans et pour .
converge uniformément sur tout compact mais pas sur .

[martini_bird]

La complétude est une notion strictement métrique.

Soit la droite réelle munie de la distance usuelle et avec : X est complet, mais pas Y.

En effet la suite est de Cauchy pour mais pas pour .

[indian58]

Différence entre polynôme et fonction polynomiale

Conisdérons le polynôme (non nul) où p est un nombre premier. Alors selon le petit théorème de Fermat, sa fonction polynomiale associée est la fonction nulle!

[invite35452583]

Fonction réelle additive non linéaire


On sait qu'une telle fonction est Q-linéaire mais est-elle linéaire sur R ?
Non nécessairement, mais il faut pour cela utiliser l'axiome du choix. Celui-ci nous garantit qu'il existe une base de IR sur le corps Q. un élément quelconque de I.
On pose
f s'étend de manière unique en une application Q-linéaire de R dans R car est un base du Q-espace vectoriel IR.
f n'est pas linéaire car si on prend

[invite35452583]

Fonction réelle non mesurable Lebesgue

La fonction définie précédemment n’est pas mesurable Lebesgue.
En effet (par l’absurde) :
(Pour simplifier l’écriture on prend . On complète cette famille libre d’un vecteur en une base. On a .)
On pose g(x)=f(x)/x pour tout x non nul.
Comme la fonction inverse est mesurable Lebesgue sur IR* si f l’est sur IR alors g l’est sur IR*. Montrons que g ne l’est pas.

Si g est mesurable, est un ensemble mesurable car {1} est mesurable dans R. On a

En effet, soit x tel que x appartient à cette somme directe (on a alors g(x)=1, ce sens de l’inclusion est évident) et y dans Q.
Après un calcul élémentaire on obtient g(x+y)=(x/(x+y))g(x)+(y/(x+y))g(y)=x/(x+y) ce qui n’est égal à 1 que si y=0 c’est à dire si x+y est dans la somme directe. On a ainsi l'union disjointe :


Maintenant, si considère un intervalle [a,b] (a<b) alors l’ensemble
est mesurable. Montrons que la mesure ne dépend que de la largeur de [a,b].
On pose c=b-a. G1 est dense car est un Q-sev de R non trivial privé de {0}. Soit e>0 et x dans G1 tel que la-xl<e.
A un ensemble de mesure nul près (au plus deux points), on a G1+x=G1 et ces deux derniers ensembles ont donc même mesure.
En outre, la mesure de , on en déduit que la différence des mesures de est moindre que 2e.
Or, la mesure de Lebesgue est invariante par translation donc ont même mesure. La différence de mesure entre est ainsi moindre que 2e, et ceci quelque soit e>0 donc sont égales.

On considère désormais un intervalle fixe [a,b] (ne contenant pas 0 pour simplifier), on a l'union disjointe :

La mesure de est égale à celle de d'après ce qui précède.
Comme la mesure de Lebesgue est , on a :
. Or cette dernière somme est nulle si m=0, infinie si m>0 mais n'est en aucun cas fini non nul comme b-a, il y a bien contradiction.

[martini_bird]

Espace connexe non localement connexe

Le peigne est connexe par arcs (donc connexe), mais n'est pas localement connexe (pour la topologie induite par celle de ).

[invite35452583]

Espace contractile en un point mais non contractile en un autre.
Le peigne P= muni de la topologie induite par R²
est contractile en tous les points de [0,1]x{0}
n'est contractile en aucun autre point

En effet :
a) Il est contractile en les points de [0,1]x{0} car pour x₀ de [0,1] fixé, on considère d'abord l'homotopie F : IxP->P telle que F(t,(x,y))=(x,(1-t)y).
On a bien pour tout point du peigne (x,y) F(0,(x,y))=(x,y)
pour tout t de I=[0,1] F(t,(x₀,0))=(x₀,0)
Et, F(1,P)=[0,1]x{0}
On prolonge F par l'homotopie de [0,1]x{0} G: Ix[0,1]x{0}->[0,1]x{0} G(t,(x,0))=((1-t)x+tx₀,0).
G est à image dans [0,1]x{0} car [0,1] est convexe, G(0,(x,,0))=(x,0) G(1,(x,0)=(x₀,0) et G(t,(x₀,0))=((1-t)x0+tx₀,0)=((1-t+t)x0,0)=(x₀,0).
On a bien obtenu une déformation continue du peigne laissant (x₀,0) invariant sur {(x₀,0)}.

b) il n'est pas contractile en un point (x₀,y₀) du peigne avec y₀>0.
En effet, suppososns l'inverse il existerait une homotopie H : IxP->P vérifiant
H(0,z)=z pour tout point z de P H(1,z)=(x₀,y₀) pour tout point de P, H(t,(x₀,y₀))=(x₀,y₀) pour tout t de I.
Soit U un ouvert ne coupant pas [0,1]x{0} contenant (x₀,y₀), cet ouvert existe car y₀>0, H^-1(U) est un ouvert contenant Ix{(x₀,y₀)}.
H^-1(U) contient alors un ouvert de la forme IxV avec V un voisinage ouvert de (x₀,y₀) dans P. En effet comme H^-1(U) est un ouvert de P, pour tout t de I, il existe un ouvert contenant (t,(x₀,y₀)) de la forme où I_t et V_t sont des ouverts de R. I étant compact, il suffit d'un nombre fini (I_ti, i=1,...,n) pour le recouvrir, on pose , on a IxV inclus dans H^-1(U).
Maintenant soit un point (x,y) de V tel que x soit distinct de x₀ (existe car {x₀}x[0,1] est d'intérieur vide donc ne contient pas V), on considère la projetée sur la première coordonnée p₁. On a p₁oH (_,(x,y)) est une application continue de I dans p₁oH(H^-1(U)) inclus dans donc constante ce qui contredit que p₁oH(0,(x,y))=p₁(x,y)=x et p₁(1,H(x,y))=p₁(x0,y0)=x₀ et x distinct de x₀.

[invite35452583]

Différence entre polynôme et fonction polynomiale

Conisdérons le polynôme (non nul) où p est un nombre premier. Alors selon le petit théorème de Fermat, sa fonction polynomiale associée est la fonction nulle!

C'est plutôt
.