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Le livret des contre-exemples

  1. indian58

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    juin 2005
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    Re : Le fascicule des contre-exemples

    Fonctions de classe mais pas

    Considérons la fonction définie par et f(0)=0. est de classe
    sur mais pas .

    -----

    Dernière modification par martini_bird ; 27/07/2006 à 17h39. Motif: Correction à la demande de l'auteur
     


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  2. indian58

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    Re : Le fascicule des contre-exemples

    Espace de Baire non complet

    Une version du célèbre théorème de Baire affirme que tout espace métrique complet est un espace de Baire (toute intersection d'ouverts denses est un ouvert dense ou encore toute réunion de fermé d'intérieur vide est un fermé d'intérieur vide). Cependant la réciproque n'est pas vrai: on peut montrer que muni de la distance usuelle est un espace de Baire bien que non complet.

    p.s: merci à evariste_galois et à l'Elément d'Analyse Fonctionnelle de Hirsch et Lacombe.
     

  3. GuYem

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    Re : Le fascicule des contre-exemples

    Une application continue, bijective à réciproque non continue

    L'application [0 , 2Pi[ -> S^1 (le cercle unité de C) qui à un angle t associe exp(it)
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.
     

  4. indian58

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    juin 2005
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    Re : Le fascicule des contre-exemples

    Exemple d'un homéomorphisme de classe qui ne soit pas un -difféormorphisme

    Considérons la fonction f définie sur par f(x)=x3. C'est une fonction continûment dérivable, bijective de réciproque racine cubique. Cette fonction réciproque n'est cependant pas de classe car elle n'est pas dérivable en 0.
     

  5. indian58

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    juin 2005
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    Re : Le fascicule des contre-exemples

    Fonction jamais monotone


    Cet exemple s'appelle la courbe de Bolzano et est une courbe "fractale". On considère f0=Id sur [0,1] puis pour n , on considère la fonction fn+1 définie sur [0,1] par:

    _
    _
    _
    _ fn+1 est affine sur chacun des intervalles [].

    Alors la limite de cette suite de fonctions est une fonction continue, en aucun point dérivable et monotone sur aucun sous-intervalle de [0,1].
     


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  6. indian58

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    Re : Le fascicule des contre-exemples

    A propos des caractères continu, uniformément continu et lipschitzien des fonctions

    On sait que d'une part, si une fonction est uniformément continue, alors elle est continue et d'autre part, si elle est lipschitzienne, alors elle est uniformément continue. Les réciproques ne sont pas vraies:
    _ la fonction "carré" est clairement continue sur et non uniformément continue sur ce même intervalle;
    _ la fonction "racine carré" n'est pas lipschitzienne sur [0,1]
    mais y est quand même uniformément continue par le théorème de Heine.
     

  7. ChromoMaxwell

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    Re : Le fascicule des contre-exemples

    Polynôme non nul ayant une infinité de racines.


    X²+1 sur le corps H des quaternions


    Petite explication :

    Le théorème suivant " Soit k un corps commutatif. Et P un polynôme non nul de k[X] de degré d. Alors P admet au plus d racines dans k. " n'est plus valide si le corps n'est plus commutatif.

    Le corps des quaternions, dont une définition possible est la suivante. On note {1,i,j,k} la base canonique de l'espace vectoriel . On définit une règle de multiplication sur cet ensemble par









    On vérifie que la structure ainsi définie est un corps. On lit directement sur les règles de multiplication que ce corps n'est pas commutatif.

    Sur ce corps, on considère le polynôme P = X²+1. Les règles de multiplication donnent déjà 3 racines immédiates que sont i, j et k. On peut montrer à la main, que l'ensemble des racines de ce polynôme est

    La démonstration du théorème énoncé au dessus échoue car la formule du binôme n'est pas valable dans un corps non commutatif.
     

  8. edpiste

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    Re : Le fascicule des contre-exemples

    Convergences simple/uniforme de suites de fonctions

    Contre-exemples aux théorèmes de Dini :

    Les fonctions définies pour sont croissantes. La suite converge simplement mais pas uniformément sur .

    La suite de fonctions définies par pour est croissante. La suite converge simplement mais pas uniformément sur .

    Convergence uniforme vs convergence uniforme sur les compacts

    Soit une fonction continue à support compact dans et pour .
    converge uniformément sur tout compact mais pas sur .
     

  9. martini_bird

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    Re : Le fascicule des contre-exemples

    La complétude est une notion strictement métrique.

    Soit la droite réelle munie de la distance usuelle et avec : X est complet, mais pas Y.

    En effet la suite est de Cauchy pour mais pas pour .
    Dernière modification par martini_bird ; 31/07/2007 à 10h56. Motif: Correction
     

  10. indian58

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    Re : Le livret des contre-exemples

    Différence entre polynôme et fonction polynomiale

    Conisdérons le polynôme (non nul) où p est un nombre premier. Alors selon le petit théorème de Fermat, sa fonction polynomiale associée est la fonction nulle!
     

  11. homotopie

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    Re : Le livret des contre-exemples

    Fonction réelle additive non linéaire


    On sait qu'une telle fonction est Q-linéaire mais est-elle linéaire sur R ?
    Non nécessairement, mais il faut pour cela utiliser l'axiome du choix. Celui-ci nous garantit qu'il existe une base de IR sur le corps Q. un élément quelconque de I.
    On pose
    f s'étend de manière unique en une application Q-linéaire de R dans R car est un base du Q-espace vectoriel IR.
    f n'est pas linéaire car si on prend
     

  12. homotopie

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    Re : Le livret des contre-exemples

    Fonction réelle non mesurable Lebesgue

    La fonction définie précédemment n’est pas mesurable Lebesgue.
    En effet (par l’absurde) :
    (Pour simplifier l’écriture on prend . On complète cette famille libre d’un vecteur en une base. On a .)
    On pose g(x)=f(x)/x pour tout x non nul.
    Comme la fonction inverse est mesurable Lebesgue sur IR* si f l’est sur IR alors g l’est sur IR*. Montrons que g ne l’est pas.

    Si g est mesurable, est un ensemble mesurable car {1} est mesurable dans R. On a

    En effet, soit x tel que x appartient à cette somme directe (on a alors g(x)=1, ce sens de l’inclusion est évident) et y dans Q.
    Après un calcul élémentaire on obtient g(x+y)=(x/(x+y))g(x)+(y/(x+y))g(y)=x/(x+y) ce qui n’est égal à 1 que si y=0 c’est à dire si x+y est dans la somme directe. On a ainsi l'union disjointe :


    Maintenant, si considère un intervalle [a,b] (a<b) alors l’ensemble
    est mesurable. Montrons que la mesure ne dépend que de la largeur de [a,b].

    On pose c=b-a. G1 est dense car est un Q-sev de R non trivial privé de {0}. Soit e>0 et x dans G1 tel que la-xl<e.
    A un ensemble de mesure nul près (au plus deux points), on a G1+x=G1 et ces deux derniers ensembles ont donc même mesure.
    En outre, la mesure de , on en déduit que la différence des mesures de est moindre que 2e.
    Or, la mesure de Lebesgue est invariante par translation donc ont même mesure. La différence de mesure entre est ainsi moindre que 2e, et ceci quelque soit e>0 donc sont égales.

    On considère désormais un intervalle fixe [a,b] (ne contenant pas 0 pour simplifier), on a l'union disjointe :

    La mesure de est égale à celle de d'après ce qui précède.
    Comme la mesure de Lebesgue est , on a :
    . Or cette dernière somme est nulle si m=0, infinie si m>0 mais n'est en aucun cas fini non nul comme b-a, il y a bien contradiction.
     

  13. martini_bird

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    Re : Le livret des contre-exemples

    Espace connexe non localement connexe

    Le peigne est connexe par arcs (donc connexe), mais n'est pas localement connexe (pour la topologie induite par celle de ).
    Dernière modification par martini_bird ; 31/07/2007 à 10h59. Motif: Correction
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca
     

  14. homotopie

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    Re : Le livret des contre-exemples

    Espace contractile en un point mais non contractile en un autre.
    Le peigne P= muni de la topologie induite par R²
    est contractile en tous les points de [0,1]x{0}
    n'est contractile en aucun autre point

    En effet :
    a) Il est contractile en les points de [0,1]x{0} car pour x0 de [0,1] fixé, on considère d'abord l'homotopie F : IxP->P telle que F(t,(x,y))=(x,(1-t)y).
    On a bien pour tout point du peigne (x,y) F(0,(x,y))=(x,y)
    pour tout t de I=[0,1] F(t,(x0,0))=(x0,0)
    Et, F(1,P)=[0,1]x{0}
    On prolonge F par l'homotopie de [0,1]x{0} G: Ix[0,1]x{0}->[0,1]x{0} G(t,(x,0))=((1-t)x+tx0,0).
    G est à image dans [0,1]x{0} car [0,1] est convexe, G(0,(x,,0))=(x,0) G(1,(x,0)=(x0,0) et G(t,(x0,0))=((1-t)x0+tx0,0)=((1-t+t)x0,0)=(x0,0).
    On a bien obtenu une déformation continue du peigne laissant (x0,0) invariant sur {(x0,0)}.

    b) il n'est pas contractile en un point (x0,y0) du peigne avec y0>0.
    En effet, suppososns l'inverse il existerait une homotopie H : IxP->P vérifiant
    H(0,z)=z pour tout point z de P H(1,z)=(x0,y0) pour tout point de P, H(t,(x0,y0))=(x0,y0) pour tout t de I.
    Soit U un ouvert ne coupant pas [0,1]x{0} contenant (x0,y0), cet ouvert existe car y0>0, H-1(U) est un ouvert contenant Ix{(x0,y0)}.
    H-1(U) contient alors un ouvert de la forme IxV avec V un voisinage ouvert de (x0,y0) dans P. En effet comme H-1(U) est un ouvert de P, pour tout t de I, il existe un ouvert contenant (t,(x0,y0)) de la forme où It et Vt sont des ouverts de R. I étant compact, il suffit d'un nombre fini (Iti, i=1,...,n) pour le recouvrir, on pose , on a IxV inclus dans H-1(U).
    Maintenant soit un point (x,y) de V tel que x soit distinct de x0 (existe car {x0}x[0,1] est d'intérieur vide donc ne contient pas V), on considère la projetée sur la première coordonnée p1. On a p1oH (_,(x,y)) est une application continue de I dans p1oH(H-1(U)) inclus dans donc constante ce qui contredit que p1oH(0,(x,y))=p1(x,y)=x et p1(1,H(x,y))=p1(x0,y0)=x0 et x distinct de x0.
     

  15. homotopie

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    Re : Le livret des contre-exemples

    Citation Envoyé par indian58 Voir le message
    Différence entre polynôme et fonction polynomiale

    Conisdérons le polynôme (non nul) où p est un nombre premier. Alors selon le petit théorème de Fermat, sa fonction polynomiale associée est la fonction nulle!
    C'est plutôt
    .
     


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