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Le livret des contre-exemples




  1. #31
    ericcc

    Re : Le fascicule des contre-exemples

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    La complétude est une notion strictement métrique.

    Soit la droite réelle munie de la distance usuelle et avec : X est complet, mais pas Y.

    En effet la suite est de Cauchy pour mais pas pour .
    Intéressant, et qu'est ce que le complété de R avec cette distance ?

    -----


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  3. #32
    Sylvestre

    Re : Le fascicule des contre-exemples

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Intéressant, et qu'est ce que le complété de R avec cette distance ?
    Bonjour,

    C'est R plus deux points et . En posant que et .
    Ceci est homéomorphe à [0,1].
    Programming is understanding

  4. #33
    homotopie

    Re : Le livret des contre-exemples

    Complété d'un connexe par arcs non connexe par arcs
    On peut aussi compléter R de manière plus "amusante".
    On considère f:R->]0;+infini[ un homéomorphisme quelconque (exponentielle par exemple) puis g :]0;+infini[->R² g(x)=(x,sin(1/x)), c'est un homéomorphisme de ]0;+infini[ sur son image avec la topologie induite par le plan (notamment la métrique usuelle).
    Maintenant, on définit comme distance sur R d(x,y)=d(gof(x),gof(y)).
    Le complété est homéomorphe au graphe de sin(1/x) définie sur R+* U {0}x[-1;1], espace connexe mais non connexe par arcs.

  5. #34
    homotopie

    Re : Le livret des contre-exemples

    Anneau principal non euclidien
    L'anneau est principal mais non euclidien.
     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par martini_bird ; 15/11/2007 à 17h43. Motif: Corrections à la demande de l'auteur

  6. #35
    homotopie

    Re : Le livret des contre-exemples

    Et flute, pourtant je pensais m'être relu.
    Si un sympathique modérateur pouvait remplacer "ce qui contredit la non trivialité de I" (3-4 lignes à partir de la fin) par
    "ce qui contredit la minimalité de N(x) car cela implique que x' est dans I, or N(x')=N(x)/4".

  7. #36
    rvz

    Re : Le livret des contre-exemples

    C'est pas grave homotopie, c'est tout de même un beau contre-exemple. Une autre petite coquille. Dans l'énoncé de la propriété a, tu as interverti u et x.

    Par ailleurs, je ne sais pas ce que vous en pensez, mais ce serait intéressant aussi de mettre des références bibliographiques (quand il y en a) pour ceux qui pourraient vouloir essayer de comprendre ces contre-exemples. Ici, par exemple, j'ai bien l'impression que Cours d'Algèbre de Perrin, pourrait bien aider, ou mézalors peut-être Théorie des Nombres de Samuel.
    __
    rvz

  8. #37
    martini_bird

    Re : Le livret des contre-exemples

    Salut,

    Si un sympathique modérateur pouvait remplacer "ce qui contredit la non trivialité de I" (3-4 lignes à partir de la fin) par
    "ce qui contredit la minimalité de N(x) car cela implique que x' est dans I, or N(x')=N(x)/4".
    C'est fait.

    Par ailleurs, je ne sais pas ce que vous en pensez, mais ce serait intéressant aussi de mettre des références bibliographiques (quand il y en a) pour ceux qui pourraient vouloir essayer de comprendre ces contre-exemples.
    +1

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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  10. #38
    homotopie

    Re : Le livret des contre-exemples

    Anneau facoriel non principal, anneau factoriel non noethérien
    L'anneau de polynômes A[X1,...,Xn,...] est factoriel si A l'est mais non principal si A n'est pas un corps ou si n>1.
    L'anneau de polynômes en une infinité d'indéterminés A[X1,...,Xn,...] est factoriel si A est un anneau factoriel mais non noethérien.
    Plus classique que des contre-exemples précédents mais on les avait oubliés.

    Ils sont factoriels :
    en effet, le théorème de transfert de Gauss montre que si un anneau A' est factoriel A'[X] est facoriel. Ceci montre par une récurrence simple que A[X1,..,Xn] est factoriel. (classique, on peut notamment le trouver à la bibliothèque de ce forum ce lien). Ceci donne en particulier
    Il ne reste plus qu'à montrer (c'est rarement fait) que A[X1,...,Xn,...] est factoriel (pour l'essentiel ceci vient du simple fait que les A[X1,...,Xn] s'injectent dans A[X1,...,Xn,...]) :
     Cliquez pour afficher


    A[X1,...,Xn] n'est pas principal, A[X1,...,Xn,...] n'est pas factoriel

    A[X] n'est pas principal si A n'est pas un corps car X est irréductible mais (X) n'est pas maximal (A[X]/(X)=A qui n'est pas un corps). Or dès que n>2, A[X1,...,Xn]=A[X1,...,Xn-1][Xn] n'est donc pas principal.
    La suite infinie strictement croissante d'idéaux montre que A[X1,...,Xn,...] n'est pas noetherien.

  11. #39
    Médiat

    Re : Le livret des contre-exemples

    Il n'existe pas de théorie (logique classique du premier ordre) dont les modèles sont les groupes de torsion (dont tous les éléments sont d'ordre fini).

    Si vous doutez, essayez d'axiomatiser cette théorie avant d'ouvrir la réponse.

     Cliquez pour afficher
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #40
    homotopie

    Re : Le livret des contre-exemples

    Automorphisme de C non continu
    Les automorphismes continus de C, pour sa topologie habituelle, sont les deux R-automorphismes l'identité et la conjugaison. Mais, il existe aussi des automorphismes non continus de C.

    On en exhibe un ainsi (on utilise deux fois l'axiome du choix) :
    la démonstration est écrite de telle manière à être compréhensible avec un minimum de connaissance de la théorie des corps
    i) Il existe K un sous-corps de C ne contenant pas maximal pour cette propriété.
     Cliquez pour afficher


    ii) L'extension K->C est algébrique. (donc l'est aussi).
     Cliquez pour afficher


    iii) Tout automorphisme f de s'étend donc en un automorphisme de C.
     Cliquez pour afficher


    iv) Il existe donc un automorphisme de C envoyant sur
     Cliquez pour afficher


    Cet automorphisme n'est continu nulle part (puisque distinct de l'identité et de la conjugaison) et n'est pas Lebesgue-mesurable.

    Pour les références, la seule que j'ai est moins détaillée.

  13. #41
    epica

    Re : Le livret des contre-exemples

    THeorème de Stone Weierstrass si l'espace de départ n'est pas compact

    Soit f continue sur telle qu'il existe une suite de polynome convergeant uniformément vers f. Alors f est un polynome.

     Cliquez pour afficher

  14. #42
    epica

    Re : Le livret des contre-exemples

    Un autre assez simple : Deux suites équivalentes telles que les séries associées n'ont pas la meme nature


     Cliquez pour afficher

  15. #43
    pv

    Re : Le livret des contre-exemples

    La limite d'une suite dépend de la topologie utilisée.

    Exemple: le domaine [0,1]x[0,1] de R² muni de la topologie de la distance et de la topologie de l'ordre lexicographique.

    La suite (1/n, 0) converge vers (0,0) en topologie de la distance et vers (0,1) en topologie de l'ordre lexicographique.
    Dernière modification par Médiat ; 17/09/2010 à 14h43. Motif: Correction à la demande de l'auteur

  16. #44
    Garf

    Re : Le livret des contre-exemples

    Ca m'étonne que ces contre-exemples n'aient pas déjà été mis. Il est temps d'y remédier

    Une fonction continue, non constante dont la dérivée s'annule presque partout.

     Cliquez pour afficher


    Peut-on faire mieux ? Oui !

    Une fonction continue, strictement croissante dont la dérivée s'annule presque partout.

     Cliquez pour afficher

  17. #45
    Seirios

    Re : Le livret des contre-exemples

    Un espace métrique discret n'est pas nécessairement complet.

     Cliquez pour afficher
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  18. #46
    Garf

    Re : Le livret des contre-exemples

    Est-ce qu'un généreux modo pourrait modifier mon message précédent ? J'ai fait deux erreurs assez embarrassantes...

    Sur la démonstration de la continuité de l'escalier de Cantor : remplacer mon argument (erroné) par :

    * On remarque que est continue à droite. En effet, soit tendant vers par la droite. Nécessairement, la suite va tendre simplement vers la suite , ce qui implique que tend vers . Maintenant, remarquons que le développement trinaire impropre (c'est-à-dire éventuellement avec une suite infinie de , mais pas de suite infinie de ) de , une fois injecté dans la définition de , donne la même valeur que le développement trinaire propre. On montre donc de la même manière que est continue à gauche. Au passage, cette remarque permet aussi de démontrer que .
    Sur l'exemple suivant, que je trouve finalement assez douteux :

    * Soit un réel appartenant à . On peut aussi écrire le développement binaire propre de x de la façon suivante :



    est une suite d'entiers strictement croissante. Cette écriture est liée à celle utilisée pour l'escalier de Cantor de la façon suivante. Si on dispose du développement binaire propre , alors la suite est définie récursivement par , et . Définissons maintenant, pour dans :



    Alors a les propriétés souhaitées.

    Référence : L. Takacs, An increasing continuous singular function, The American Mathematical Monthly, 85 (1978), 35-37.
    Merci d'avance !

  19. #47
    ericcc

    Une fonction réelle qui tend vers zéro à l'infini, mais pas sa dérivée

    On m'a posé cette question récemment : une fonction réelle qui tend vers zéro à l'infini, sa dérivée tend elle aussi vers zéro ?

    Mon contre exemple : f(x)= 1/x * sin(ex)

  20. #48
    Médiat

    Re : Une fonction réelle qui tend vers zéro à l'infini, mais pas sa dérivée

    Théorème d'incomplétude de Gödel

    Toute théorie du premier ordre, récursivement axiomatisable et capable de formaliser l'arithmétique est soit inconsistante, soit incomplète.

    Si on relache la condition "récursivement axiomatisable", on peut prendre la théorie (c'est à dire la théorie des formules du premier ordre vraies dans le modèle , théorie d'un modèle, donc consistante (théorème de complétude de Gödel) et complète (tiers exclu).


    Si on relache la condition "capable de formaliser l'arithmétique", on peut prendre la théorie des ordres linéaires, denses, sans extrémum qui est consistante (théorème de complétude de Gödel : elle admet , pour modèle), et complète (elle est même -catégorique, ce qui se montre trivialement par un argument de va-et-vient).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  21. #49
    superbebe

    contre exemple célèbre de Peano

    Il est tout a fait possible de remplir continuement le carré (0,0); (1,1) en partant du segment [0;1].


    Autrement dit, il existe une bijection de classe de [0;1] dans


    http://www.mathcurve.com/fractals/peano/peano.shtml
    en cas d'attaque de zombies, adressez vous a un geek.

  22. #50
    Seirios

    Re : contre exemple célèbre de Peano

    On pourra également regarder Space-filling curve.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  23. #51
    kadomatsu

    Re : Le livret des contre-exemples

    Pour Péano, il s'agit d'une surjection continue.

    Il est impossible de construire une bijection continue entre un intervalle et le carré. Il existe plusieurs preuves de ce résultat, par exemple en utilisant un argument topologique : en retirant un point à l'intérieur du segment et son image dans le carré, on n'a plus égalité du nombre de composantes connexes entre les deux ensembles.

  24. #52
    Pitildi

    Re : Le livret des contre-exemples

    Faux: une fonction continue envoie un connexe sur un connexe, non pas l'inverse. Ton argument ne marche pas.

  25. #53
    kadomatsu

    Re : Le livret des contre-exemples

    Pitildi, ton "faux" est faux, l'argument marche car on a affaire à des compacts.

  26. #54
    Universus

    Re : Le livret des contre-exemples

    Plus précisément, l'argument de kadomatsu fonctionne car l'intervalle (fermé) est compact et que le carré est un espace Hausdorff. Il y a un théorème plutôt simple qui stipule qu'une bijection continue d'un compact vers un Hausdorff est un homéomorphisme.

    Donc supposant qu'une bijection continue de l'intervalle au carré existe, ce théorème implique que son inverse est aussi une application continue. En retirant un point du carré, la bijection oblige qu'un et un seul point est retiré de l'intervalle ; il y aurait alors une fonction continue surjective du carré ponctué (qui est connexe) vers l'intervalle ponctué (qui n'est pas connexe), ce qui est absurde comme l'a indiqué Pitildi.

    Ainsi, toute bijection entre un carré et un intervalle (fermé) est discontinue tant dans une direction que dans l'autre.
    Dernière modification par Universus ; 12/11/2013 à 17h53.

  27. #55
    Tryss

    Re : Le livret des contre-exemples

    Il existe des fonctions continues sur un sous ensemble dense et discontinues sur un sous ensemble dense

    Prendre la fonction définie par

    si

    si , p et q premiers entre eux


    Alors est discontinue sur et continue sur son complémentaire.

    Résultat assez peu intuitif

  28. #56
    Médiat

    Re : Le livret des contre-exemples

    Merci Tryss,

    Très très bel exemple , je vais m'en servir dès ce soir (qui dira le malheur d'avoir un père mathématicien ?)

    (Et pour autant que j'ai pu y réfléchir, la démonstration est facile, mais demande de la rigueur)
    Dernière modification par Médiat ; 14/10/2014 à 12h47.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  29. #57
    Garf

    Re : Le livret des contre-exemples

    Il y a déjà deux exemples d'espaces topologiques connexes et non connexes par arcs, mais je ne peux résister à l'idée d'en donner d'autres.

    Soit le groupe (compact) des entiers 2-adiques. Posons , et définissons une relation d'équivalence sur par . Alors est une espace topologique connexe et non connexe par arcs. Il s'appelle solénoide 2-adique (il y a, de la meme manière, des solénoides p-adiques). Voir ici pour une image (troisième colonne, troisième rangée).

    Ce que j'aime bien avec cet exemple est qu'il est très régulier ; on peut le voir comme un fibré sur un cercle et dont les fibres sont des exemplaires de . La connexité vient du fait que la translation sur est topologiquement transitive (elle est meme minimale), donc toute fonction continue constante sur les composantes connexes est constante (en fait, toute fonction mesurable et constante sur les composantes connexes est constante à un ensemble de mesure nulle près). La non-connexité par arcs découle de la totale discontinuité et de la non-dénombrabilité de .

    L'autre chose intéressante avec cet exemple est qu'il se généralise facilement, en ce qu'on appelle des flots de suspension associés à des systèmes dynamiques. Soit un espace métrique compact, et une transformation continue. On peut alors poser , puis une relation d'équivalence , et enfin . L'espace obtenu est connexe si la transformation est topologiquement transitive (une version topologique de l'ergodicité). L'espace n'est pas connexe par arcs si l'espace est non-dénombrable et totalement discontinu.

    Par exemple, si est l'ensemble de Cantor usuel et , alors on obtient aussi un espace connexe et non connexe par arcs. C'est dans ce cas une version simplifiée des attracteurs de Lorenz.
    Dernière modification par JPL ; 08/11/2014 à 13h22.

  30. #58
    TCHAPAIEV

    Re : Le livret des contre-exemples

    Le mémoire indiqué en réference est absolument remarquable ;je n'ai pas l'intention ni la prétention d'y ajouter grand'chose ; je veux juste me permettre de donner ma propre explication à la citation connue de Darboux "qui se détourne avec horreur des "monstres " que constitueraient les fonctions continues nulle part différentiables" ; Johan Thim , l'auteur du Mémoire s'est évidement posé la question ; on doit se la poser ; pourquoi des esprits aussi affûtés se sont-t'ils montrés si réfractaires ? Johan Thim donne une réponse ; selon lui , les mathématiciens pouvaient vérifier que sur toute "expression" d'une fonction continue - en fait analytique par morceaux - on "voyait bien" qu'il y avait un ensemble très petit de "sales points" ; et de là il était facile de conclure que ces monstres au cas où leur existence était avérée , n'avaient pas leur place au Panthéon ........
    Cette explication ne me satisfait que "très" partiellement ; j'ai fait avec mes étudiants l'expérience suivante:
    Supposez que vous soyez empreints d'une terreur infinie en passant au tableau et devant la question " tracer une courbe continue partout sans dérivée" ; avec l'exemple de la valeur absolue , on suspecte que pour "tracer" un courbe semblable il faut "casser la pente à tout instant " ; d'où la nécessité d'être terrifié ; mais même si vous êtes dans cet état d'esprit , vous constaterez que vous n'y parviendrez pas ; aussi violente que soit votre "terreur", il y aura toujours un petit intervalle de temps dans lequel la courbe que vous voulez tracer aura une tangente en chaque point . Laissons la terreur de côté ; il est tout à fait exclu pour moi que des esprits exceptionnels n'aient pas tenté dans le secret de leur cabinet noir de tracer une courbe de ce genre et il est absolument certain qu'ils avaient perçu la nécessité de casser la pente en tout point . ILs ne pouvaient y parvenir ; un objet que l'on ne peut pas représenter n'existe pas ; d'où sans doute l'"horreur" de Darboux et bien d'autres .
    la question est donc de savoir ou comprendre pourquoi on ne peut pas "tracer " la courbe en question et la raison est simple mais d'une certaine façon pas mathématique ; voilà un jeune étudiant qui voit sa petite amie ( changer les genres , la chose est parfaitement symétrique ) devant lui , assez loin mais sur l'autre trottoir ; il l'appelle mais elle ne l'entend pas ; alors il court jusqu'à un feu qui au moment où il s'apprête à traverser passe au rouge pour les piétons ; évidemment il freine mais s'aperçoit avec horreur qu'il ne peut pas freiner instantanément ! Il y a l'inertie de son corps qui l'en empêche et il ne peut rien contre ça ; du coup l'idylle prévue peut se transformer en catastrophe; laissons là notre étudiant et souhaitons au couple tout le bonheur possible ; en traçant la courbe vous transmetetz à votre main , à votre crayon l'inertie de votre corps et....f=mgamma comme il est bien connu ; si votre crayon obéit ne fût-ce qu'un instant à cette loi , il n'y a pas d'espoir de tracer votre courbe au moins sur un petit intervalle de temps ; c'est tellement vrai que aujourd'hui lesdites courbes se manifestent tous les jours dans des lieux peu recommandables mais utiles mathématiquement , à savoir les cours de Bourse... ET comme chacun devrait le savoir, ces courbes résultent d'une infinité d'impulsions pendant un temps infiniment bref et la Loi de Newton ne s'applique plus .L'humanité est toujours tributaire des conditions de son existence et c'est justement la grandeur de la science de l'en libérer

  31. #59
    TCHAPAIEV

    Re : Le livret des contre-exemples

    Oui , mais ... c'est un G-delta c'est à dire une intersection dénombrable d'ouverts et il est facile de montrer que ces ensembles sont homéomorphes à des espaces métriques complets; pour trouver des Espaces de Baire non homéomorphes à des espaces métriques complets il "faut" de la dimension infinie ; l'espace D des fonctions indéfiniment dérivables sur R , à support compact n'est pas un espace de Baire ( facile ) et cependant complet pour la structure uniforme associée à sa topologie ; de ce fait il n'est pas métrisable ( c'est la preuve la plus simple de ce fait ) ; ce n'est évidemment pas ce que tu veux ; j'ai des exemples de ce que je dis mais trop élaborés ; il y a surement plus simple voir par exmple Bourbaki Tome 9

  32. #60
    contrexemple

    Re : Le livret des contre-exemples

    Citation Envoyé par Tryss Voir le message
    Il existe des fonctions continues sur un sous ensemble dense et discontinues sur un sous ensemble dense

    Prendre la fonction définie par

    si
    Cela marche aussi avec

    si , p et q premiers entre eux


    Alors est discontinue sur et continue sur son complémentaire.

    Résultat assez peu intuitif
    Salut,

    Cela marche aussi quand on prend : et c'est plus simple à voire.
    Soit p/q dans Q alors, tout voisinage ouvert de p/q contient des rationnelles avec une infinité de quotient ou de numérateur différents.
    Elle est continue sur le complémentaire (car la fonction constante est toujours continue).

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