Le livret des contre-exemples

[invite2ec994dc]

Il me semble que c'est plus difficile d'avoir sur l'ensemble dense maigre de la continuité et sur l'ensemble complémentaire de la discontinuité.

D'ailleurs j'ai du mal à me l'imaginer, si quelqu'un à un exemple de ceci, j'en serais ravi.
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[invite8aa3f2a2]

En analyse , pour la fonction qui est continue et n'est pas dérivable , bah il y'a un exemple de la fonction de weierstrass ; cette fonction est continue partout mais elle n'est pas dérivable

[inviteea028771]

Salut,

Cela marche aussi quand on prend : et c'est plus simple à voire.
Soit p/q dans Q alors, tout voisinage ouvert de p/q contient des rationnelles avec une infinité de quotient ou de numérateur différents.
Elle est continue sur le complémentaire (car la fonction constante est toujours continue).

Ta fonction n'est nul part continue... En effet, il existe une suite tel que , mais (caractérisation séquentielle de la continuité)

[invite2ec994dc]

Alors tu as juste mal exprimé la potentialité de ton contre-exemple :
est discontinue en chaque point de et continue en chaque point de son complémentaire.
Car le contre-exemple que je donne respecte :

est discontinue sur et continue sur son complémentaire.

Cela me fait penser au contre-exemple de :
Si une fonction de R est continue sur Q et sur son complémentaire alors R est continue.

Il suffit de prendre f(x)=0 si x dans Q et f(x)=1 sinon.

Un de plus : si f fonction de R dans R est tel que pour tout a,b il existe c,d tel que f([a,b])=[c,d] alors f est continue.
Contre-exemple : f(x)=0 si x=0, f(x)=sin(1/x) sinon.

[Médiat]

Confusion entre "f est continue sur un sous ensemble" et "la restriction de f à un sous-ensemble est continue" !

[invite2ec994dc]

Confusion entre "f est continue sur un sous ensemble" et "la restriction de f à un sous-ensemble est continue" !

Soit un sous ensemble de R, dire que f continue en chaque point de E, n'est pas la même chose que de dire que f continue sur E.

[Médiat]

Rien à voir avec ce que j'ai écrit.

[invite8133ced9]

Normalement, être continu sur une partie c'est exactement que sa restriction à cette partie soit continue pour la topologie induite.
Sinon on dit "continue en tout point de".



Corps ordonnés non archimédiens:

Dans un corps ordonné , on peut parler de suites de Cauchy: les suites telles que
.
Et de convergence d'une suite vers un point :
.


Si un corps ordonné possède la propriété de la borne supérieure, alors il est archimédien, ses suites de Cauchy convergent, et il est isomorphe à .
Si un corps ordonné est archimédien et si ses suites de Cauchy convergent alors il possède la propriété de la borne supérieure et est isomorphe à .

Mais il existe des corps ordonnés dont les suites de Cauchy convergent qui ne sont pas archimédiens:

-Si un corps ne possède aucune partie dénombrable non majorée, alors ses suites de Cauchy sont constantes à partir d'un certain rang donc elles convergent. (exemple: où )
-Tout corps ordonné possédant une partie dénombrable non majorée se plonge densément dans un corps dont les suites de Cauchy convergent. Si le corps de départ n'est pas archimédien, celui d'arrivée non plus. (exemple: où )

[invite2ec994dc]

Effectivement : "être continu sur une partie c'est exactement que sa restriction à cette partie soit continue pour la topologie induite" mais Médiat distingue deux périphrases aux même sens.

Sinon :
Cela me fait penser à cette exemple qui peut servir de contre-exemple :
Sur R[X]/X^n R.e.v de dimension n, on prends sur cette ensemble l'ordre lexicaux graphique avec 1>X>...>X^(n-1).
Alors l'ordre est compatible avec l'anneau c'est-à-dire a,b c,d dans cette e.v tel que a>b et c>d alors a+c>b+d et si de plus b>0 et d>0 alors c*d>b*c.

[Médiat]

Normalement, être continu sur une partie c'est exactement que sa restriction à cette partie soit continue pour la topologie induite.

Certes il peut exister une ambiguïté, mais ce n'est, évidemment, pas le sens utilisé depuis le début (message # 55).

[invite8133ced9]

Il n'y a pas plusieurs sens de "continue sur" et "continue en tout point de", mieux vaut se référer aux définitions non?

Ce que je comprends est que Tryss n'a pas précisé que est continue en tout point de , et que contrexemple n'a pas précisé qu'elle est discontinue sur . Tryss s'est aussi trompé en pensant que contrexemple revendiquait la continuité de sa fonction en chaque point de .

Peut-être que l'expression "nulle part continue" reste la plus ambigüe, mais il semble plus logique de lui faire signifier "continue en aucun point" que "continue sur aucune partie" car il y a toujours les singletons et l'ensemble vide sur lesquels la fonction est continue.

[inviteaab66f46]

La limite d'une suite dépend de la topologie utilisée.

Exemple: le domaine [0,1]x[0,1] de R² muni de la topologie de la distance et de la topologie de l'ordre lexicographique.

La suite (1/n, 0) converge vers (0,0) en topologie de la distance et vers (0,1) en topologie de l'ordre lexicographique.

Je n'arrive pas à la même conclusion que l'auteur dans exemple.

L'ordre lexixographique est défini par si : ou ( et )
Une base de la de topologie de l'ordre est composé des intervalle ouverts et des demi-droites semi-ouvertes

En particulier, dans la topologie de l'ordre, est un voisinage de (0, 0) : c'est la demi droite

Les éléments de la suite (1/n, 0) n'appartiendrons jamais à ce voisinage. De mon point de vue, avec la topologie de l'ordre, elle n'est pas convergente.

[gg0]

Bonjour.

ce ne sont pas les voisinages de (0,0) qu'il faut regarder, mais ceux de (0,1) qui est affirmé comme limite dans ce cas.

Cordialement.

[inviteaab66f46]

En effet, merci gg0. J'ai prouvé que la suite ne converge pas vers (0,0) dans la topologie de l'ordre lexicographique mais ça ne prouve pas qu'elle n'est pas convergente.

Dans la topologie de l'ordre lexicographique, une basde de voisinage de (0, 1) est avec
Et en effet, pour grand, donc

Je retire donc ce que j'ai dit