Ensemble fermé ?

[SqrtNomis]

Bonjour à tous, j'ai assez peu d'expérience en ce qui concerne la compacité et les concepts d'ensembles ouverts et fermés, c'est pourquoi je cale un peu et je m'en remets à vous.

L'exercice en question :
Déterminez si l'ensemble est borné ? fermé ? compact ?

Si prouver que l'ensemble est non borné est trivial, j'ai du mal à prouver que celui-ci est fermé (ou non)...
Je n'ai même d'ailleurs aucune intuition pour savoir si celui-ci l'est ou non.

Dans mon cours, on définit ceci :
On dit que est fermé si

Ainsi, on utilise deux définitions pour déterminer l'adhérence d'un ensemble.

La première utilise la notion de suites

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La deuxième utilise la notion de boule

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[minushabens]

Un ensemble est fermé si et seulement si son complémentaire est ouvert. Montre que le complémentaire est ouvert. La définition la plus répandue est celle que j'ai donnée, celle de ton cours n'est pas standard (mais est valide).

[Itachi11]

bonjour,
si l'on est dans un espace métrique (E , d) et si A est un sous-ensemble de E, si vous voulez vérifier que A est fermé alors il suffit de vérifier que son complémentaire dans E est ouvert si c'est le cas alors A est fermé

[gg0]

Bonjour SqrtNomis.

Dans un premier temps, quel est l'ensemble dans lequel est considéré E₁ ? Et quelle topologie ?
Si c'est E₁ lui-même, il est fermé dans toute topologie.
Ce ne peut pas être , puisque n'en fait pas partie. A moins que l'écriture de E₁ soit fautive.

Si tu n'as pas la définition des fermés à partir des ouverts, ta deuxième définition est sans doute plus pratique, les boules étant ici des intervalles (si j'ai bien compris ton ||.||).

Au fait, dans quel cadre fais-tu ça ? Topologie des ? Espaces métriques ? Topologie générale ?

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[SqrtNomis]

Merci pour vos nombreuses réponses.
J'ai évidemment pensé à déterminer si le complémentaire de était un ouvert (ce qui dans mon cours était plutôt présenté sous forme de propriété si j'ai bien compris), cependant on a défini un ouvert comme ceci :

Un sous-ensemble de est ouvert si .
L'intérieur de est défini, comme l'adhérence, deux deux manières.

La première en terme de suite :

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La seconde en terme de boule :

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Si cela simplifie peut-être légèrement la preuve si on utilise la définition en terme de boule, je ne vois toujours pas quel chemin emprunter, n'ayant d'ailleurs aucune intuition et ne sachant donc pas si je dois affirmer ou infirmer une de ces définitions.

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A moins que l'écriture de E1 soit fautive.

Oui effectivement, petite faute de frappe, l'ensemble ne contient pas . Je suppose qu'on travaille dans .

(si j'ai bien compris ton ||.||)

Il s'agit en fait de la boule définie sur une certaine norme ||.|| donc oui, c'est un intervalle.

Au fait, dans quel cadre fais-tu ça ?

Il s'agit d'un cours d'introduction à la topologie, les notions d'ouverture et de fermeture sont les premières à être introduites (avec l'adhérence et l'intérieur) et sont suivies des notions de densité et de voisinage. Il ne me semble pas qu'on parle d'espace métrique.

J'espère vous avoir répondu au mieux vu mon manque de connaissance !

[gg0]

Bonjour.

Tu sembles avoir un cours qui a choisi la complication !!

Comme tu travailles avec soit des suites, soit des boules liées à une certaine norme, il ne s'agit pas de topologie générale, mais de la topologie des espaces normés (*). Il n'y a pas, au départ, la définition d'un cadre dans lequel on travaille ?

En tout cas, ta définition des ouverts avec les intérieurs définis par une norme donne : "A est une partie ouverte de E si pour tout point de A on peut trouver une boule ouverte (**) contenant ce point et contenue dans A".
Tu peux aussi remarquer qu'un ouvert est voisinage de tous ses points et que c'est caractéristique des ouverts.

Muni de ces méthodes, il est facile de voir que le complémentaire de est un ouvert (***). Tu peux aussi considérer la caractérisation séquentielle (par les suites), essayer de faire la preuve directe ou par l'absurde ou par le complémentaire, pour voir que dans ces cas, ce n'est pas simple !!

Cordialement.

(*) vus comme des espaces affines.

(**) Je ne sais pas si les boules dont tu parles sont fermées ou ouvertes. Les fermées sont données par

les ouvertes par

Mais pour les mêmes a et r, la boule fermée contient toujours la boule ouverte, éventuellement vide si r=0. Comme dans te définition de l'intérieur et de l'adhérence, il y a à chaque fois r>0, la boule ouverte contient bien a.

(***) B(a,r)=]a-r,a+r[ (boule ouverte)

[SqrtNomis]

Oui j'oubliais de préciser que, dans mon cours, on utilise la notation pour une boule ouverte et lorsqu'on parle de boule fermée.
En tout cas, je visualise maintenant un peu mieux le squelette de la preuve et, oui, les autres cas semblent très compliqués !
Merci de votre patience.