Bonjour,
Un exercice demande de prouver qu'une partiede
est la boule unité fermée d'une norme de
si et seulement si
est convexe, compacte, symétrique par rapport à l'origine et d'intérieur non vide.
Dans la réciproque on fait intervenir l'ensemblequi est en fait un intervalle puisque comme
est convexe et contient l'origine (par symétrie et convexité), si
, alors
. Ensuite comme
est compacte, elle est bornée, donc il existe
tel que
pour tout
. Si
, alors
. On peut alors poser
, qui est un réel strictement positif. Ensuite on dit que comme
est compacte, elle est fermée et donc
est aussi fermé, et est donc égal à
.
C'est ce dernier point que je ne comprend pas, pourquoi siest fermée, on peut dire que
l'est aussi ?
Merci d'avance
-----