Dérivation par rapport à X de l'entropie de Boltzmann-Shannon

[Gorthol Adanedhel]

Bonjour

Il faut résoudre cette équation-ci :



Il s'agit de la dérivation par rapport à X de l'entropie de Boltzmann-Shannon (linéairement, celle-ci s'écrit Kb*P*In (1/P)), avec Kb la constante de Boltzmann, P une probabilité, N le nombre de particule, X une longueur, T la température.

Le but est d'insérer la variable X dans P (donc trouver une valeur de P en fonction de X), afin que par dérivée, on obtienne la valeur N*Kb*T/X, comme vous le voyez sur l'image si-dessus.

C'est urgent. Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.

Je suppose que T est non nul donc tu peux (tu aurais déjà dû) simplifier par T.
Ensuite, ton égalité te dit que la dérivée de ... est ... donc que ... est une primitive de .... Donc tu intègres.
Je te laisse faire ça, c'est le plus simple. La fin me paraît sans issue.

Cordialement.

[invite52487760]

Bonsoir,

D'après tes affirmations, on simplifie aussi par qui est une constante, non ?

Amicalement.

[gg0]

J'avais laissé ça à Gorthol,

il faut bien qu'il cherche un peu ...

Par contre, son utilisation de X et de x m'inquiète un peu !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gorthol Adanedhel]

gg0 : "Par contre, son utilisation de X et de x m'inquiète un peu !!"
Oui, excusez moi, il s'agit en fait d'un seul et même X.


Chentouf : "D'après tes affirmations, on simplifie aussi par Kb qui est une constante, non ?"
gg0 : "Je suppose que T est non nul donc tu peux (tu aurais déjà dû) simplifier par T."
Cela, je l'avais déjà fait dans mes calculs en brouillon. Je vous ai donné juste l'équation générale, ce qui explique le fait que je n'ai simplifié. La réflexion suivante "(tu aurais déjà dû)" n'avais donc pas ça place à ce moment. Si vous analysez l'équation, vous remarquerait que la dérivée de l'entropie donne, par analyse dimensionnelle, une force. NKbT/X est donc aussi une force (rapport de l'énergie sur une longueur). Pour plus de détail, voir Erik Verlinde, "on the origin of gravity and the laws of newton" : https://arxiv.org/pdf/1001.0785.pdf

D'ailleurs, je ne peut pas admettre la réflexion suivante : "il faut bien qu'il cherche un peu...". Si je viens demander de l'aide ici, c'est que j'ai déjà essayé de calculer en vain la valeur de P (auquel est associé la variable X).

D'ailleurs, je vous remet l'équation en image, ainsi que les corrections qui ont été effectués sur celle-ci, et sa simplification :

Capture.JPG

Comme vous l'aurez remarqué, j'ai mis P(X) pour mettre en avant le fait que la probabilité évolue en fonction de X.


gg0 : "Ensuite, ton égalité te dit que la dérivée de ... est ... donc que ... est une primitive de .... Donc tu intègres."
Dommage que je ne comprenne pas un mot de votre phrase. Si vous pouviez remplacer les petits points par ce à quoi ils sont associés, cela serait beaucoup plus compréhensible et m'aiderait davantage. Si j'ai bien compris, vous voulez que j'intègre chaque membre de mon équation afin d'annuler la dérivé. J'ai déjà fait cette opération (encore une fois, j'ai cherché gg0 ) mais cela ne me permettait pas de trouver p. Appliquons toutefois ce que vous dites :

Capture.JPG

Merci déjà pour les réponses que vous m'avez apporté.
Je vous pris de m'aider dans la résolution de ce calcul qui est important.

[gg0]

Désolé, Gorthol, mais
1) Je travaille avec ce que tu écris, pas avec ce que tu as fait dont tu ne parles pas. La simplification est tellement évidente, qu'il ne sert à rien de poser la question avec T si on a simplifié.
2) Les petits points sont une simple redite de l'équation simplifiée (*), c'était peut-être trop simple pour toi ?
3) on ne peut pas simplifier par Kb comme tu le fais, ce n'est un facteur ni du premier membre, ni du deuxième. La simplification intervient ultérieurement et est liée à ce qui suit
4) Ton intégration n'est pas correcte, il manque une constante, d'un côté ou de l'autre.

Ensuite, comme je le disais au message #2, je ne vois pas comment on pourrait trouver une fonction p(x) qui convient, encore moins une fonction de valeur comprise entre 0 et 1, sans renseignement complémentaire. En termes de maths, ça s'arrête là. A moins que tu sois un utilisateur confirmé de la fonction W de Lambert (moi pas).

Cordialement.

(*) donc une justification du fait d'intégrer.

[Gorthol Adanedhel]

Évitez de me tutoyez, je vous prie (ne le preniez pas mal).

Pour votre point n°1, oui, la simplification est évidente. Mais j'ai laissé le T pour que vous ayez l'équation générale et pour que vous puissiez la comprendre, comme je l'ai expliquez si-dessus. L'équation que j'ai présenté est une force, avec N*Kb*T une énergie ; l'entropie est en joule par Kelvin, et donc multiplié par T donne de l'énergie. Le fait de la dérivée par rapport à une longueur donne une force. J'ai laissé "T" juste pour mettre en avant cela.

Pour votre point n°3, j'ai du mal à saisir où vous voulez en venir. Kb est une constante. Après simplification des T, en intégrant N*Kb/X, nous obtenons : N*Kb In X + C (C une constante). De l'autre côté, l'intégration annule la dérivée, ce qui donne Kb* p(x) In 1/P(x) + C. L'équation générale donne :
Kb* p(x) In 1/P(x) + C = N*Kb In X + C
Comme on a Kb dans les deux membres, nous pouvons simplifier :
p(x) In 1/P(x) + C = N* In X + C
Ce qui est le résultat que j'ai mis en image dans mon message précédent. Où est l'erreur je vous pris ? L'autre erreur est l'oubli de la constante. En fait, j'ai écris une approximation pour laquelle la constante du premier membre est égale à la constante du second membre, ce qui donne finalement p(x) In 1/P(x) = N* In X, ceci étant certainement un abus mathématique.

"Ensuite, comme je le disais au message #2, je ne vois pas comment on pourrait trouver une fonction p(x) qui convient, encore moins une fonction de valeur comprise entre 0 et 1, sans renseignement complémentaire. En termes de maths, ça s'arrête là. A moins que tu sois un utilisateur confirmé de la fonction W de Lambert (moi pas)."

Je connais pas cette "fonction W de Lambert". J'attendrais que des personnes plus compétentes dans le domaine vienne résoudre le problème.
Merci d'avoir répondu.

[gg0]

Sur les forums, on se tutoie. Si ça ne ta plaît pas, n'y vas pas !

"Comme on a Kb dans les deux membres, nous pouvons simplifier :
p(x) In 1/P(x) + C = N* In X + C" faux ! Kb n'est pas un facteur du second membre.

Vu tes réactions peu amènes à mes interventions, je te laisse

[Gorthol Adanedhel]

Sauf si on simplifie d'abord les constantes ! Dans ce cas, on a :
Kb* p(x) In 1/P(x) = N*Kb In X
Et là, on a bien Kb qui devient un facteur du second membre. On a finalement :
p(x) In 1/P(x) = N In X

[Gorthol Adanedhel]

" Sur les forums, on se tutoie. Si ça ne ta plaît pas, n'y vas pas !"
Malheureusement, c'est le seul forum (pour l'instant) que je croise où la "règle" est de se tutoyer^^
" Vu tes réactions peu amènes à mes interventions, je te laisse"
Libre à vous de me laisser. Mais je suis intervenu de la façon la plus polie et la plus juste qui soit. Mais soit.