problèmes sur les sommes

[tritonik]

Bonjour,

J'ai un problème technique avec une somme . Il s'agit de la démonstration de la divergence de la série harmonique ( faite par mon prof ):



Soit ,on estime





On conclut ensuite de la divergence de la série.

Première chose, je ne comprend pas comment on arrive à :
Comment doit-on le lire ? Je lirai ça comme: "1 + la somme de j=1 jusqu'à q-1 de la somme de n=2^(j)+1 jusqu'à 2^(j+1) des 1/n " , mais ça me parait compliqué.

De même pour le terme :
Notre prof nous dit que pour compter les sommations on doit faire :
N'est ce pas plutôt (q-p+1) ? si on fait on a bien 4-0+1 = 5 termes

Merci d'avance pour votre aide.
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[tritonik]

un petit up

[gg0]

Bonjour.

Il y a une erreur d'indexation de ta formule :

Si on développe, on commence par j= 1 et n va prendre la valeur 2¹+1=3, puis la valeur 2², et on s'arrête, puisqu'on est à la borne supérieure et donc ça commence par

En fait, il faut faire commencer j à 0.
Sinon, c'est effectivement un peu compliqué, mais c'est ça, on écrit pour toutes les valeurs de j de 0 à q-1 la somme entre parenthèses et on met des + entre. C'est la signification du symbole somme.
Pour la somme entre parenthèse, on remplace n successivement par 2^j+1, puis 2^j+2, puis ...puis on s'arrête quand on arrive à 2^j+1, et on additionne tous ces nombres.
J'ai l'impression qu'il te manque la définition de ce symbole somme !!!
En tout cas c'était écrit au dessus :


Pour ta deuxième question, c'est simplement que la fonction "inverse" est décroissante, donc que dans une somme de ce genre, chaque terme est supérieur ou égal au dernier, par exemple

Le numérateur est seulement le nombre de termes (8-4=4 dans l'exemple ci-dessus). Et tu as raison sur le nombre de termes, qui est bien q-p+1=q-(p-1) quand on va de p à q. C'est d’ailleurs ce qui est fait.

Cordialement.

[tritonik]

Super, j'ai bien compris où ça coinçait, pas de problème a priori avec les sommes , mais je n'avais pas encore manipulé de sommes successives. Finalement ça n'est pas si méchant, enfin, passer de la somme symbolisée à la somme des termes ça va, mais l'étape inverse me paraît plus compliqué, c'est pour ça qu'à première vue je n'avais pas compris comment mon prof avait fait. Je te remercie pour ton aide !

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