Le but est de trouver toutes les fonctions f de R vers K(=R ou C) continues telles que pour tous x et y réels on ait :

f(x+y) + f(x-y) = 2( f(x) + f(y) ) : équation fonctionnelle


Personnellement j'ai déjà résolu l'exo en utilisant les rationnels et j'ai donc la réponse : les fonctions solutions sont les fonctions qui à x associent f(1)*x²=a*x² où a est donc un complexe quelconque.


Mais voilà : la méthode est imposée et je dois suivre le cheminement de l'exercice à travers un questionnement en 3 parties :


Partie 1 : Soit une fonction solution f.

a) Si F est la primitive de f qui s'annule en 0, trouvez pour x réel, une relation entre F(x+1), F(x-1), f(x) et F(1).

b) Déduisez-en que f est de classe C² puis que f'' est constante.

c) Que pouvez-vous en déduire pour f ?

Partie 2 : trouvez toutes les solutions polynomiales de degré au plus égal à 2.

Partie 3 : ensemble des solutions ?



Je bloque clairement à la première question, je ne vois pas comment créer le lien entre f et F en une relation ?