Bonjour à tous
Je sais que l'on peut établir une bijection entre les ensembles de points de 2 segments différents, ou même entre les ensembles de points d'une droite et d'un segment.
Pouvez-vous SVP m'indiquer s'il est possible d'établir une bijection :
1/ entre les ensembles de points d'un segment et d'une surface telle qu'un carré ?
2/ entre les ensembles de points de 2 surfaces différentes (2 carrés différents, un carré et un cercle, etc...) ?
Merci pour vos réponses
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
La courbe de Peano donne une surjection (https://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_Peano).Envoyé par andretou
Une bijection continue n'est pas possible.
Dernière modification par Amanuensis ; 06/03/2017 à 10h09.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Bonjour,
EDIT : croisement. Effectivement, si on rajoute la continuité c'est plus restrictif
La réponse dans les deux cas est oui. Le point important est que les deux ensembles aient même cardinalité.
Maintenant, expliciter une bijection peut être plus compliqué.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Bonjour,
1) Oui, après l'avoir démontré Cantor a écrit à Dedekind : "Je le vois mais je ne le crois pas"
2) Oui, ils ont le même cardinal
Pour la continuité, un exemple simple où c'est impossible : ]0 ; 1] vers [0 ; 1]
Dernière modification par Médiat ; 06/03/2017 à 10h16.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci pour vos réponses.
En est-il de même entre un segment et un cube ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Oui, et une fois que tu sais le faire entre un segment et un carré je te propose de constuire par toi même ta bijetion entre un segment et un cube.
Ou plutôt on procède ainsi : construire une surjection du cube dans le segment (facile), puis du segment dans le cube. Conclure.
ok !
Et pour finir, entre les ensembles des points d'un segment et de l'espace tout entier ?
Je devine que oui, mais pouvez-vous svp confirmer ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Bonjour,
Si tu prend A une partie quelconque de l'"espace à n dimensions" (R^n) qui contient un intervalle ouvert (aussi petit soit il), ou un partie en bijection avec un intervalle ouvert et B une autre partie quelconque de l'"espace à m dimension" (R^m) qui contient un intervalle ouvert (aussi petit soit il) ou une partie en bijection avec un intervalle ouvert. Alors tu pourras toujours trouver une bijection entre A et B, et ceci quelque soit n et m, entiers. Ce critère devrait te permettre de trancher tous les cas que tu as posté.
Dernière modification par MiPaMa ; 06/03/2017 à 11h23.
Une autre façon de voir les choses :
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour Médiat
Cela signifie-t-il qu'on ne peut pas établir de bijection entre ]0 ; 1] et [0 ; 1] ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Non, ces deux ensembles sont en bijection.
Ok, merci.
Mais qu'est-ce qui est impossible alors entre ]0 ; 1] et [0 ; 1] ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Bonjour,
Une bijection : pas de problème, une bijection continue : impossible.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
De trouver une bijection continue entre les deux.
Qu'appelle-t-on SVP une bijection continue ? Je ne trouve pas la définition sur le net...
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Je n'arrive pas à comprendre la différence entre une bijection et une bijection continue...
Pourquoi une bijection continue de ]0 ; 1] vers [0 ; 1] n'est-elle pas possible ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
"Je n'arrive pas à comprendre la différence entre une bijection et une bijection continue... "
Ben ... une bijection continue, en plus d'être bijective, est continue.
La plupart des bijections ne sont pas continues.
Une bijection continue c'est plus fort qu'une simple bijection.
Deja il n'y a AUCUNE application continue surjective de [0,1] sur ]0,1], parce que l'image de [0,1] par cette application devrait etre compacte, et ]0,1] ne l'est pas.
Comprendre pourquoi il ne peut y avoir de bijection continue de ]0,1] sur [0,1], est plus subtil il faut remarquer que pour des raisons de connexité, cette bijection enverrait forcement un point du "bord" sur un point du "bord". Mais le bord du second espace a deux point alors que celui du premier n'en a qu'un, donc un des points du bord du second espace ne peut avoir d'antecedant.
Excusez-moi MiPaMa mais votre conclusion "donc un des points du bord du second espace ne peut avoir d'antécédent" laisse penser qu'il existe au moins un point du second espace n'ayant pas d'antécédent. Ce faisant, non seulement il ne peut pas y avoir de bijection continue, mais pas de bijection tout court non plus...
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Non, relis ce que j'ai ecrit. Si on impose à la bijection d'etre continue alors un des points du bord du second espace ne peut avoir d'antécédant. Si on n'impose pas cette condition supplémentaire, il n'y a aucun probleme a construire cette bijection.
Salut,
Complément (évident mais autant être clair), si la bijection n'est pas continue, l'image ou l'antécédent d'un point du bord peut très bien ne pas être un point du bord.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
A-t-on le droit de dire qu'il y a autant d'information dans un ensemble A que dans un ensemble B si A et B sont en bijection ?
La notion d'information ici n'est pas pertinente, mais je crois comprendre ce que vous voulez dire, et ce qui assure cette "identité" d'information est mise en évidence par la présence d'un isomorphisme (ce qui dans le cas du langage vide est une simple bijection).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je voulais dire en effet que puisque tout ce que l'on peut coder dans A peut être codé dans B, et réciproquement, alors il n'y a pas plus d'information dans A que dans B.
De ce fait, il n'y aurait pas plus d'information dans un petit segment que dans un grand carré...
Est-ce que cela peut s'exprimer plus rigoureusement ?
Salut,
Une notion mathématique utile de l'information c'est celle de Kolmogorov. En gros, c'est la taille du plus petit programme informatique pouvant générer les données recherchées.
Je ne suis donc pas sûr que la quantité d'information soit toujours identiques dans les deux structures car:
- une structure ce n'est pas seulement un nombre d'éléments. Et la bijection ne relie que ça (la cardinalité). Par exemple, dans les notions de segment et de carré, tu as des points mais ils ont aussi une structure qui font d'eux des segments ou des carrés. La structure en plus est ici donnée par la topologie et la géométrie.
- la bijection contient elle-même une certaine quantité d'information
Je pense que s'il existe un homéomorphisme entre deux objets, alors ils ont même nombre d'éléments et même quantité d'information (*).
Mais s'il existe juste une bijection, alors ils ont même nombre d'éléments et mais pas nécessairement la même quantité d'information.
Car la quantité d'information ne se limite pas à un nombre d'éléments.
(*) Ca reste à confirmer.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Bonjour,
on peut facilement expliciter une bijection entre le segment [0, 1[ et le carré [0, 1[ x [0, 1[
Pour
Dernière modification par joel_5632 ; 14/04/2017 à 08h10.
Après réflexion, je ne suis pas sur que ce soit une bijection
x1 = 0,3129197929... avec des 9 une décimale sur 2
x2 = 0,3220107020... avec des 0 une décimale sur 2
ont la même image
Bonjour,
Cette définition est problématique :
f(13/33) = (0.3, 0.9) = (1/3, 1) qui n'appartient pas au carré.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Avec des bijections justement. On exprime des ordinalités...
