[topologie] Montrer qu'un ensemble est fermé à l'aide de suites

[Ekinoks2]

Bonjour,
Je suis en revision pour les partiels de Fac et je viens de m'apercevoir qu'il y a une démonstration que je ne comprends pas du tout.

Pour prouver qu'un ensemble est fermé, mon cours dit :
F est fermé si et seulement si toute suite (Xn;Yn) de F qui converge est telle que Lim(Xn,Yn) € F

L'exemple est :
D d'équation X+Y=1 est t'il fermé ?
Oui, car si une suite (Xn,Yn) d'éléments de D converge vers (a,b), on a :
quelque soit n € IN , Xn + Yn = 1
en passant à la limite on en déduit a+b=1 et donc (a,b) € D

Ce que je ne comprends pas c'est que quelque soit l'équation que je prends, j'arrive toujours à la conclusion que l'ensemble est fermé...
Par exemple, si je modifie leur exemple et que je remplace le = par un <, D devrais étre ouvert... or, si je continue leur démonstration avec ce changement, rien ne change...

Merci pour votre aide.
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[invite6de5f0ac]

Bonjour,
Je suis en revision pour les partiels de Fac et je viens de m'apercevoir qu'il y a une démonstration que je ne comprends pas du tout.

Pour prouver qu'un ensemble est fermé, mon cours dit :
F est fermé si et seulement si toute suite (Xn;Yn) de F qui converge est telle que Lim(Xn,Yn) € F

L'exemple est :
D d'équation X+Y=1 est t'il fermé ?
Oui, car si une suite (Xn,Yn) d'éléments de D converge vers (a,b), on a :
quelque soit n € IN , Xn + Yn = 1
en passant à la limite on en déduit a+b=1 et donc (a,b) € D

Ce que je ne comprends pas c'est que quelque soit l'équation que je prends, j'arrive toujours à la conclusion que l'ensemble est fermé...
Par exemple, si je modifie leur exemple et que je remplace le = par un <, D devrais étre ouvert... or, si je continue leur démonstration avec ce changement, rien ne change...

Merci pour votre aide.

Bonjour,

D'une part, si tu prends une équation P(X₁,...,X_n) = A avec P un polynôme, comme un polynôme est une fonction continue, l'ensemble des points qui vérifient cette équation est l'image réciproque d'un fermé, donc fermé .

Si par contre tu prends une inégalité stricte, ce n'est plus forcément vrai: tu peux très bien avoir X_n < 1 pour tout n, et lim X_n = 1. Par exemple, X_n = 1 - 1/n.

-- françois

[Ekinoks2]

Merci pour ta réponse =)

Effectivement ta méthode est plus simple...

Pour l'inégalité stricte, je suis tout à fait d'accord avec toi. Intuitivement si on a une inégalité stricte telle que Xn < 1 pour tout n la limite peut tout à fait être égale à 1.
Par contre dans la démonstration de mon cours, que j'ai donnée au début, je ne vois pas où cela intervient vu que a est b sont inconnues... comment savoir si (a,b) € D ?
Dans sa démonstration, il y a marqué :
a+b=1 et donc (a,b) € D
Cela me semble pas évident ...

[Gwyddon]

(a,b) ont beau être inconnues, tu as montré par continuité qu'ils étaient liés par a+b = 1 ; or c'est exactement la condition nécessaire et suffisante pour qu'un couple (a,b) soit élément de D => (a,b) est donc dans D

[A voir en vidéo sur Futura]

[Ekinoks2]

ok... mais alors pourquoi ca ne marcherais pas pour a+b<1
On montre aussi que (a,b) est lié par a+b < 1 ...

Ce que je dis est forcement faux car a+b<1 est fermé mais je ne vois pas pourquoi ?

[Gwyddon]

Tu n'as pas bien lu ce que t'a dit fderwelt

Les inégalités strictes ne passent pas à la limite : il est faux de conclure de Xn + Yn < 1 que lim Xn + lim Yn < 1 (quand ces limites existent...)

On ne peut qu'affirmer que

[Ekinoks2]

HA !!!!! d'accord !
Merci beaucoup pour votre aide !

[invite6de5f0ac]

ok... mais alors pourquoi ca ne marcherais pas pour a+b<1
On montre aussi que (a,b) est lié par a+b < 1 ...

Ce que je dis est forcement faux car a+b<1 est fermé mais je ne vois pas pourquoi ?

Rebonjour,

... sauf que {(a,b) € R² | a+b < 1} n'est pas fermé...

-- françois

[invited9d71a3e]

Bonjour,
Juste un petit detail, un fermé A contient sa fermeture(cloture), et donc X+Y<1 ne contient pas sa fermeture.
PS:
1- L'ensemble des points d'adherences de A s'appelle la fermeture ou la clotureou encore l'adherence de A.
2- on appelle point d'adherence de A tout point x tel que pour tout voisinage de x noté V, l'intersection de A et V est non vide.

[invite8b04eba7]

Salut romaissa !

On dit plutôt "adhérence" que "clotûre". Mais le terme anglais est "closure".

[Ekinoks2]

fderwelt> oui exacte :^/ j'ai confondu ...

romaissa> merci pour ces précisions ! =)