centre de gravité du cone creux

timoun27 · 08/05/2006 - 11h52

quelqu'un aurait il le centre de gravité du cone creux de hauteur h de grand rayon R et d'épaisseur e, car je trouve un résultats assez compliqué

IceDL · 08/05/2006 - 12h31

Salut à toi,

Puisque la masse est répartie uniformément (enfin j'espère

), tu peux commencer par calculer le volume de ton cône qui fait :

V=(1/3)Pi*e*(2R-e)*h

Puis tu place ton cône selon l'axe Oz avec sommet à l'origine O, tu sais que par symétrie de révolution le centre de symétrie est sur l'axe Oz.

Pour simplifier l'expression on peut définir deux angles disons a et b par :

tan(a) = (R-e)/h et tan(b)=R/h (les deux demi angles au sommet...) et puis après il ne te reste plus qu'à faire le calcul en sphériques en sachant que en sphériques:

l'ordonnée est z=r*cos(theta)
un élément de masse dm=m*(r²sin(theta)dr*d(theta)* d(phi))/V.

Bon j'espère que ça peut t'aider, je vais faire le calcul moi-même et je te donne le résultat.

zinia · 08/05/2006 - 23h06

Bonsoir,
Comme il s'agit d'un cône creux, je crois que la démarche d''IceDL est beaucoup trop compliquée.
Il faut savoir si le cône est fermé ou ouvert sur son grand cercle.
On n'a pas besoin de connaitre l'épaisseur sauf si elle n'est pas négligeable et dans ce cas il faut préciser si R est le rayon extérieur.
Sinon, en utilisant la symétrie et en supposant le cône ouvert, c'est très simple :
La surface d'un petit tronçon situé à l'abcisse x de la pointe est de la forme dS=k x dx (où k est une constante avec pi, des racines et autres choses sans intérêt)
Le moment, toujours par rapport à la pointe sera alors x dS = k x² dx .
La distance entre la pointe et le centre de gravité sera le rapport des deux intégrales de 0 à h
Pas difficile d'arriver à 2/3 h.
Si le cône est fermé, c'est pas beaucoup plus compliqué...

IceDL · 09/05/2006 - 10h28

Envoyé par zinia

Bonsoir,
Comme il s'agit d'un cône creux, je crois que la démarche d''IceDL est beaucoup trop compliquée.
Il faut savoir si le cône est fermé ou ouvert sur son grand cercle.
On n'a pas besoin de connaitre l'épaisseur sauf si elle n'est pas négligeable et dans ce cas il faut préciser si R est le rayon extérieur.
Sinon, en utilisant la symétrie et en supposant le cône ouvert, c'est très simple :
La surface d'un petit tronçon situé à l'abcisse x de la pointe est de la forme dS=k x dx (où k est une constante avec pi, des racines et autres choses sans intérêt)
Le moment, toujours par rapport à la pointe sera alors x dS = k x² dx .
La distance entre la pointe et le centre de gravité sera le rapport des deux intégrales de 0 à h
Pas difficile d'arriver à 2/3 h.
Si le cône est fermé, c'est pas beaucoup plus compliqué...

Je vois à peu près la méthode que tu veux utiliser mais le résultat n'est pas juste : l'ordonnée du centre de gravité est à 3/4 h. Et ma méthode donne le résultat, je peux détailler si tu veux :

J'ai le volume $V\ =\ (1/3)\ \pi\ e\ (2R-e)\ h\ \$

$tan(a)\ =\ (R-e)/h\ et\ tan(b)\ =\ R/h\$ (les deux demi angles au sommet...) et puis après il ne te reste plus qu'à faire le calcul en sphériques en sachant que en sphériques:

l'ordonnée est $z\ =\ r\ \cos(\theta)\ \$
un élément de masse $dm\ =\ 1/V\ m\ r^2\ sin(\theta)\ dr\ d(\theta)\ d(\phi))\$

d'où

$Zg\ =\ \1 /V\ \Bigint_{0}^{2\pi}\ \Bigint_{a}^{b}\ \Bigint_{0}^{h/cos(\theta)}\ \ r \ cos(\theta)\ r^2\ sin(\theta)\ dr\ d(\theta)\ d(\phi)\ \$

$Zg\ =\ \1 /V\ 2\pi\ \Bigint_{a}^{b}\cos(\theta)\ sin(\theta)\ d(\theta)\ \Bigint_{0}^{h/cos(\theta)}\ \ r^3\ dr\ \$

$Zg\ =\ \1 /V\ \2\pi\ \Bigint_{a}^{b}\ (1/4)\ h^4/ cos^3(\theta)\ sin(\theta)\ d(\theta)\ \$

$Zg\ =\ \1 /V\ \pi\ (1/4)\ h^4/ (1/cos^2(b)-1/cos^2(a))\ \$

et avec 1/cos²(x)=1+tan²(x) et la définition de a et b :

$Zg\ =\ \1 /V \ \pi\ (1/4)\ h^2\ (R^2-(R-e)^2)\ \$

Et avec la formule donnant V on trouve

$Zg\ =(3/4)\ h\$

doudache · 09/05/2006 - 13h07

Salut !

La répartition de masse n'est pas volumique, puisque c'est un cône creux.

[Edit : j'ai dit une bêtise, pardon

]

mécano41 · 09/05/2006 - 13h41

Envoyé par IceDL

..... Et ma méthode donne le résultat, je peux détailler si tu veux :

J'ai le volume $V\ =\ (1/3)\ \pi\ e\ (2R-e)\ h\ \$

Bonjour,

Déjà ici je n'arrive pas à retrouver ce que tu as fait (même en application numérique) alors, si tu pouvais nous indiquer si tu es bien parti des mêmes données que TIMOUN 27 comme sur le schéma joint...

Merci d'avance

zinia · 09/05/2006 - 14h02

Bonjour IceDL

Ainsi, tu trouves que le centre de gravité d'un cône creux est identique à celui d'un cône plein.

En fait, sans suivre le détail de ton calcul, je pense pouvoir deviner le problème : l'épaisseur de ton cône n'est pas constante mais varie linéairement de 0 à e lorsque l'on part du sommet pour aller vers la base.
Et de manière bien naturelle tu arrives à la même chose que si ton cube était plein.
Sans négliger l'épaisseur, j'arrive à quelque chose du genre Xg = 2h/3 +h²e/[6R*racine(h²+R²)] en me limitant au premier ordre pour e
Sous réserves des erreurs qui se glissent toujours dans mes calculs

matthias · 09/05/2006 - 14h36

Une fois que l'on connait la position d'un cône plein (3h/4), il n'y a presque plus rien à faire (en tout cas pas d'intégration). Ca se réduit à une bête histoire de barycentres partiels.

IceDL · 09/05/2006 - 15h05

Envoyé par zinia

Bonjour IceDL

Ainsi, tu trouves que le centre de gravité d'un cône creux est identique à celui d'un cône plein.

En fait, sans suivre le détail de ton calcul, je pense pouvoir deviner le problème : l'épaisseur de ton cône n'est pas constante mais varie linéairement de 0 à e lorsque l'on part du sommet pour aller vers la base.
Et de manière bien naturelle tu arrives à la même chose que si ton cube était plein.

Oui toutes mes excuses je n'avais pas très bien modélisé le cône

: effectivement j'étais parti avec un cône plein de hauteur h et dont la base a pour rayon R auquel on enlève un cône plein de hauteur h et dont la base a pour rayon R-e ce qui n'est pas ce qui était demandé.

Envoyé par mécano41

Bonjour,

Déjà ici je n'arrive pas à retrouver ce que tu as fait (même en application numérique) alors, si tu pouvais nous indiquer si tu es bien parti des mêmes données que TIMOUN 27 comme sur le schéma joint...

Et non effectivement, mieux vaut un bon schéma. Mais du coup ça devient plus difficile ; déjà pour le volume :

Avec tes notations :

Le demi-angle au sommet du cône alpha défini par
$tan(\alpha)\ =\ R/h\$
$cos(\alpha)\ =\ sqrt(R^2/(R^2+h^2))\$

La longueur FC est donc
$FC\ =\ e\ cos(\alpha)\ =\ e\ sqrt(R^2/(R^2+h^2))\$ .

La longueur FO vérifie
$FO\ =\ R\ -\ FC\ =\ R\ -\ e\ sqrt(R^2/(R^2+h^2))\$

La longueur MO vérifie
$R/h\ =\ tan(\alpha)\ =\ FO/MO\$
$MO\ =\ h/R\ (R\ -\ e\ sqrt(R^2/(R^2+h^2))\ )\$

Le volume de l'ensemble est donc :
$V\ =\ 1/3\ h\ \pi\ R^2\ -\ 1/3\ MO\ \pi\ FO^2\$

et je trouve :

$V\ =\ \pi\ (\ e\ R\ h\ sqrt(R^2/(R^2+h^2))\ -\ e^2\ h\ (R^2/R^2+h^2)\ +\ e^3\ h/(3R)\ (R^2/(R^2+h^2)) ^{3/2})\$

Je ne sais pas si c'est juste mais bon, est-ce que tu trouves ça ?

IceDL · 09/05/2006 - 15h07

Envoyé par matthias

Une fois que l'on connait la position d'un cône plein (3h/4), il n'y a presque plus rien à faire (en tout cas pas d'intégration). Ca se réduit à une bête histoire de barycentres partiels.

Tu veux dire qu'il suffit de prendre le barycentre du grand cône, celui du petit cône et de reprendre le barycentre ? Effectivement c'est pas mal vu mais avec quels coefficients ?

@+

matthias · 09/05/2006 - 15h15

Envoyé par IceDL

$cos(\alpha)\ =\ sqrt(R^2/(R^2+h^2))\$

Attention, c'est : $cos(\alpha)\ =\ sqrt(h^2/(R^2+h^2))\$

Envoyé par IceDL

La longueur FC est donc
$FC\ =\ e\ cos(\alpha)\ =\ e\ sqrt(R^2/(R^2+h^2))\$

Plutôt : $e\ =\ FC\ cos(\alpha)$

matthias · 09/05/2006 - 15h19

Envoyé par IceDL

Effectivement c'est pas mal vu mais avec quels coefficients ?

Les volumes devraient faire l'affaire.

mécano41 · 09/05/2006 - 16h30

J'avais effectivement traité cela par les barycentres mais comme TIMOUN27 a l'air de baigner dans les intégrales en moment, j'ai pensé que ce n'était pas cela qu'il cherchait. La méthode donne (voir nouveau schéma) :

$X\ =\ \frac{(R^2h^2-r^2hi^2)}{4(R^2h-r^2hi)}$

avec :

$\alpha\ =\ arctan\frac{R}{h}$

$r\ =\ R-\frac{e}{cos\alpha}$

$r\ =\ h-\frac{e}{sin\alpha}$

Elle se vérifie pour $\ \ \ \epsilon\ <\ e\ <\ Rcos(\alpha)$

Au maxi, le cône est plein X = H/4 et au mini X = H/3

mécano41 · 10/05/2006 - 08h09

Envoyé par mécano41

..... avec :

$\alpha\ =\ arctan\frac{R}{h}$

$r\ =\ R-\frac{e}{cos\alpha}$

$r\ =\ h-\frac{e}{sin\alpha}$

....

à la dernière ligne, il faut évidemment lire :

$hi\ =\ h-\frac{e}{sin\alpha}$

et à la dernière ligne c'est h et non H

Toutes mes excuses

timoun27 · 11/05/2006 - 00h34

merci beaucoup a tous , nombre de réponse vous sont venus à l'esprit j'ai moi même trouver mon petit résultats que je n'ai pas sous les yeux.en revanche ce qui me fait dire que j'ai la bonne réponse est lorsque dans ma formule finale je remplace e par R. ce qui revient à un cone plein je retombe bien sur z=3/4h
pas d'impatience toutes les réponses sont pour bientôt .