Méthode de travail en mathématiques

[fireblue35]

Bonsoir,

Je suis désolé de vous énerver avec mes topics généraux alors que ce forum semble plus destiné pour des questions sur les cours en eux-mêmes.
Pourriez-vous écrire vos méthodes pour travailler et progresser en mathématique afin d'aider le max d'étudiants (comme moi) qui souhaitent améliorer leur niveau.

J'ai entendu dans une interview de Alain Connes qu'il fallait essayer de tout démontrer un cours par soi-même avant de lire les corrections, cela me semble une bonne méthode pour bien assimiler son cours mais très longue et un peu inutile dans le sens où l'on refait ce que d'autres ont déjà fait alors qu'on pourrait aller plus loin et essayer de créer de nouvelles choses nous-même.
Je dirais qu'il faut aller plus loin que son cours et essayer de le "continuer.

Qu'en pensez vous ?
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[fireblue35]

Ggo me semble tout indiqué pour répondre d'ailleurs.

[gg0]

Si on n'est pas déjà capable de faire les preuves du cours, on ne fera pas des preuves "plus loin". On n'imagine pas quelqu'un qui refuse de courir 100 m se présentant au départ d'un marathon.
Et tu parles dans le vide. Fais ce que tu dis, au lieu d'aligner des mots.

[minushabens]

J'ai entendu dans une interview de Alain Connes qu'il fallait essayer de tout démontrer un cours par soi-même avant de lire les corrections, cela me semble une bonne méthode pour bien assimiler son cours mais très longue (...)

sans aller jusqu'à tout démontrer, je pense que c'est intéressant quand on lit un traité de mathématiques, de réfléchir à chaque énoncé avant d'en lire la démonstration. Déjà, se demander si l'énoncé est en accord avec l'intuition qu'on a du sujet. Ce n'est pas toujours le cas. Et essayer de voir de quels outils on a besoin pour la démonstration. La plupart des théorèmes dans un cours sont des applications plus ou moins immédiates des résultats précédents, c'est intéressant de chercher à comprendre l'enchaînement des théorèmes, chose qu'on peut perdre un peu de vue si on se contente de lire les démonstrations "le nez dans le guidon".

[A voir en vidéo sur Futura]

[fireblue35]

Merci bien

[feanorel]

Je vais paraître peu orthodoxe mais je pense que les démonstration ne sont pas le point le plus important (surtout pour les premières années post-bac). Je pense qu'il est plus important de bien essayer de comprendre un théorème, de "voir" ce qu'il signifie. De réfléchir à l'impact des diverses hypothèses, aux utilisations possibles etc... Et je pense qu'il est très important de garder du temps pour chercher des exercices. Les démonstrations sont utiles pour voir les méthodes de raisonnements, mais parfois utilisent des techniques spécifique au théorème en question. Des exemples détaillés / exercices corrigés sont parfois plus intéressant qu'une démo d'un théorème...

[gg0]

Intéressant, ce que tu dis Feanorel, et tout à fait vrai, à condition de bien distinguer les démonstrations très particulières et les preuves élémentaires.
Par exemple, en algèbre linéaire, la preuve de l'existence d'une base pour tout espace vectoriel n'a pas tellement d'utilité, sauf si on est passionné par les usages de l'axiome du choix. On peut très bien faire une carrière de mathématicien sans avoir essayé de la refaire. par contre, savoir démontrer qu'un espace vectoriel possédant une famille génératrice finie (E. V. de dimension finie) possède une base, avoir vu pourquoi dans ce cas toutes les bases ont la même dimension, tout ça n'est pas du temps perdu. La plupart des théorèmes d'algèbre linéaires utilisent des arguments réutilisables, donc sont utiles.
J'ai très souvent vu des étudiants incapables de faire un exercice alors qu'il s'agissait simplement de réutiliser une méthode de preuve vue en cours.

Cordialement.

[fireblue35]

Merci à tous les deux.

Pour ggo, je ne fais presque que des maths donc je peux dire que j'applique ce que je dis, simplement, je cherche à optimiser mon temps et mes résultats.
Juste une question personnelle. Es-tu professeur de maths ? Car je trouve tes réponses toujours pertinentes.

[minushabens]

Je ne suis pas d'accord avec Feanorel. Il faut lire les démonstrations, au moins jusqu'au point où on sait où elles vont. Même des démonstations non conceptuelles, qui reposent sur une astuce on a à apprendre. D'ailleurs si on s'intéresse aux maths ça devrait être un plaisir que de découvrir les démonstrations astucieuses.

[Tryss2]

Surtout qu'on ne sait jamais où et quand une "astuce de démonstration" va pouvoir resservir, alors autant en avoir un maximum dans sa besace de mathématicien.

[fireblue35]

Merci à tous les deux, j'aime bien de toute manière, démontrer au fur et à mesure ce que je lis pour m'assurer que j'ai compris.

[feanorel]

Je ne dis pas que lire et comprendre une démonstration n'est pas intéressant. Jusque que les matheux ont parfois tendance à penser que les preuves sont les meilleurs exemples d'application du cours et que ce n'est pas systématiquement le cas.
Dans un bon bouquin de L1 (ou de sup') je pense que les exemples détaillés sont au moins aussi utiles que les preuves, et que si un élève as du mal à tout faire il vaut mieux privilégier la compréhension des théorèmes, les exemples
d'applications et la recherche d'exercice à la compréhension de chaque preuve.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Pour moi, la compréhension de la démonstration d'un théorème est la base des mathématiques. Les exercices ne constituent qu'une vérification de connaissance. D'autant plus qu'un exercice est rédigé de telle façon que c'est une application directe du cours. Et bien-sûr, les exercices constituent une préparation efficace à l'examen.

[Seirios]

Pour moi, la compréhension de la démonstration d'un théorème est la base des mathématiques. Les exercices ne constituent qu'une vérification de connaissance. D'autant plus qu'un exercice est rédigé de telle façon que c'est une application directe du cours.

Cela dépend d'où vient ton exercice. Les planches de TD données à la fac sont souvent dans ce goût là, mais dans les bons livres beaucoup d'exercices ne sont pas dans ce cas (et heureusement !).

[Tryss2]

Dans pas mal de livres, un paquet d'exercices sont des démonstrations que l'auteur a eu la flemme de faire ou bien pour lesquelles il n'y avait pas assez de place dans le bouquin

[azizovsky]

'des démonstrations qui méritent de l'argent'.... .

[feanorel]

Dans pas mal de livres, un paquet d'exercices sont des démonstrations que l'auteur a eu la flemme de faire ou bien pour lesquelles il n'y avait pas assez de place dans le bouquin

Dans les livres de prépas (ou L1/L2) que je connais les exemples présentés sont souvent très bien choisit pour illustrer diverses méthodes. Les exercices sont variés,
certains des démo de résultats qui ne sont pas dans le cours, d'autres de choses plus anecdotique parfois réutilisant des démos connues parfois non.

Dans les lires plus avancés (disons à partir de M1) c'est clair que la majorité des "exercices" sont des preuves laissées à la discrétion du lecteur.

[redrum13]

Salut fireblue, un topic pour toi, perso nne n'a trouvé la formule directe du cardinal des nombres englobants

http://forums.futura-sciences.com/ma...briques-6.html

Vu que t'es du genre à trouver le résultat sans réfléchir je me disais que ça pourrait t'intéresser, le système est simple en fait.

Bonne lecture.

[fireblue35]

Je vais m'interesser à la question ca m'a l'air sympathique, merci redrum

[fireblue35]

Bonjour, m'est avis qu'il en existe une infinité, voici la preuve.

Prenons des figures géométriques telles que les cercles ou les carrés. En regardant bien on remarque qu'en fait, en créant un aute carré à l'intérieur du premier, d'une circonférence inférieure à celle du premier, on peut créer des carrés de plus en plus petit, à la suite, comme une "descente aux enfers".

On peut faire ceci pour tout figure géométrique, quelle qu'elle soit.

Ainsi, si on prend un carré de taille "infinie"; on peut affirmer qu'il est possible de le décomposer (ou le 'dénombrer' à l'infini).

En se ramenant au sujet des ovoides, en prenant un ovoide de taille n (la plus grande possible est le mieux) , on peut le décomposer k-fois jusqu'à qu'il ne soit plus possible de créer un carré de circonférence assez petite.

C'est une preuve pas très rigoureuse mathématiquement mais je ne sais comment le prouver de cette manière, je ne me représente que les formes.

Voici ma réponse, pensée sur le coup

[redrum13]

non mais attend on s'en doute que quand n tends vers l'infini, le cardinal tend vers l'infini.

La question est: pour n combien de figures possibles existe-t'il?