Preuve application composée

[Greffiertc]

Soient deux fonctions f : E → F, g : F → G et la composée de f par g, notée g ∘ f.
Je cherche à prouver la règle suivante : Si f est bijective, alors g°f est injective ssi g est injective.

Preuve :
Soient z ∈ E, x et x' deux antécédents de z par g ∘ f.
g ∘ f étant injective, x=x', z ne pouvant qu'admettre au plus un antécédent par g ∘ f.
Comme f est bijective, f(x)= f(x') et f(x) est la seule image de x par f.
Ainsi z n'a qu'un antécédent par g, g est donc injective.

Je voudrais savoir si mon raisonnement est bon.

Merci
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[gg0]

Bonjour.

Tu n'as pas prouvé que z a un seul antécédent.

Attention, le fait que x=x' n'a qu'une seule image ne prouve pas que f(x) est unique, c'est le fait que f est une fonction qui le prouve. Donc dans ta preuve, tu n'as jamais utilisé l'hypothèse "f est bijective".

Ta preuve serait plus simple si tu partais de deux éléments y et y' de F en supposant g(y)=g(y'), puisque c'est g qui t'intéresse. C'est purement technique : Si on veut prouver quelque chose sur g, on part de g.

Cordialement.

[Greffiertc]

Merci pour l'explication

[Greffiertc]

Bonjour,

Je retente ma chance:
On sait que g ∘ f est injective et f est bijective.
Soient y et y'∈ F et supposons que g(y)=g(y').
g ∘ f étant injective, g(y)=g(y') =>f-1(y)=f-1(y').
f étant bijective f-1(y)=f-1(y')=>y=y'.
Donc g(y)=g(y') admet au plus un antécédent, d'où l'injectivité de g.

Encore une fois, mon raisonnement est-il bon?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[feanorel]

Non :

g(y)=g(y') =>f-1(y)=f-1(y')

n'est pas justifié.

[gg0]

Tu as g(y)=g(y') et les seules hypothèses sont sur f et gof. Il va bien falloir les utiliser. Pour l'instant, tu écris seulement ce dont tu as envie que ce soit vrai, pas des conséquences de g(y)=g(y').

cordialement.