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Nous disons qu'un domaine $\Omega$ est un fortement étoilé (cf.G.P Galdi "An introduction to a mathematical theory of Navier-Stokes Equations and Related Models". Steady-State Problems, Springer, Pittsburgh Pennsylvania(USA),Second Edition, 2011) de $ \mathbb R^n$ si : $$
\Omega = \Big\{x \in \mathbb R^ n: \left \| x \right \| <g\Big(\frac {x} {\left \| x \right \|}\Big) \Big\} \quad \text{et} \quad
\partial \Omega = \Big\{x \in \mathbb R^ n: \left \| x \right \| = g \Big(\frac {x} {\left \| x \right \|}\Big) \Big\}
$$ Avec $ g $ est une fonction continue et positive sur la sphère unitaire $S$.

J'ai montré qu'il y a un $ \mathcal C^ 1 $ difféomorphisme entre $ \Omega $ et la boulle unité (norme $\left \| \cdot\right \|_2$).$$
\begin{array} {ccccc}
\Phi &: & B & \longrightarrow & \Omega \\
& & y & \longmapsto & y . g\Big(\frac{y} {\left \| y \right \|}\Big) \\
\end{array}
$$ $\Phi $ a quelques propriétés:
• $ \Phi $ est bien défini.
• $ \Phi (\partial B) = \partial \Omega $.
• $ \Phi $ est une bijection.
• $ \Phi $ est une fonction lisse.

Maintenant, je voudrais montrer l'existence d'une bijection lipschitzienne entre ce domaine $ \Omega $ et un cube en $ \mathbb R^n $ (norme $\left \| \cdot \right \|_{\infty }$ ).

Je vous remercie d'avance pour votre aide.