Recherche fonction particulière (germe)

[Médiat]

Bonjour,

Je me suis posé une question idiote et n'ayant pas trouvé de réponse, je vous la pose :

Peut-on trouver (sous n'importe quelle forme, une preuve d'existence serait un premier pas) une fonction vérifiant les points suivants :

1)
2)
3)

Toutes idées et pistes sont les bienvenues ...
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[Verdurin]

Bonjour,

prolongé par continuité en 0 me semble convenir.

[Médiat]

Bonjour,

Merci, mais cette fonction ne vérifie pas le point 3

[Verdurin]

J'ai oublié l'étoile du point 3.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

edit: erreur, mauvaise preuve de l'inexistence.

[Verdurin]

Un peu en retard : je pense qu'il n'y a pas de fonctions vérifiant les points 2) et 3).

En effet le 3) entraîne que f est un O(x) ce qui est incompatible avec 2).

[Médiat]

Bonjour et merci

Un peu en retard : je pense qu'il n'y a pas de fonctions vérifiant les points 2) et 3).

J'en suis là aussi, mais avec une démo pas propre

En effet le 3) entraîne que f est un O(x)

Cela me paraît bizarre puisque x² convient (pour le 3))

ce qui est incompatible avec 2).

Oui, absolument

[andretou]

Bonjour,

Je me suis posé une question idiote et n'ayant pas trouvé de réponse, je vous la pose :

Peut-on trouver (sous n'importe quelle forme, une preuve d'existence serait un premier pas) une fonction vérifiant les points suivants :

1)
2)
3)

Toutes idées et pistes sont les bienvenues ...

En attendant, pourriez-vous nous dire ce que signifierait l'existence d'une telle fonction et quelles seraient les conséquences ?

[Médiat]

Il s'agit juste de recherches personnelles sans conséquences

[ansset]

est ce que cela, même formulé autrement ne revient pas à chercher indirectement une fonction ( ici en 0 , mais on peut faire l'équivalent en + l'inf )
avec comme contrainte
x^n o(f(x)) et f(x) o(e(x)) ?

[Médiat]

Bonsoir,

Je ne suis pas sûr de comprendre vos notations mais en tout état de cause les conditions 2) et 3) valent pour tous les n entiers.

[Universus]

Bonjour,

L'existence d'une fonction comme dans la question est équivalente à l'existence pour n'importe quel fixé d'une fonction vérifiant les conditions (2) et (3). (La condition (3) exclut implicitement la possibilité d'avoir pour x>0.) Voici des indications suggérant qu'une telle fonction n'existe probablement pas, ou qu'elle est passablement compliquée.

Supposons qu'il en existe une.

Posons la fonction . En d'autres termes, . Nous pouvons reformuler les conditions (2) et (3) comme suit :

(2') Pour tout entier naturel n, .
(3') Pour tout entier naturel n, existe et est finie.

En posant , nous avons encore :

(2'') Pour tout entier naturel n, .
(3'') Pour tout entier naturel n, existe et est finie.

Ceci implique les deux propriétés suivantes (pour suffisamment grand):

(a) .
(b) Pour tout entier naturel n, .

Posons , posons et posons . Ainsi nous cherchons à savoir

(a') .
(b') Pour tout entier naturel n, .

Renforçons la condition (b') en la suivante (c'est ici qu'on rate l'occasion de vraiment démontrer l'inexistence de la fonction g):

(b'') Pour tout entier réel ,

Les conditions (a') et (b'') s'avèrent incompatibles, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de fonction f ayant ces deux propriétés. En effet, dans le jargon de l'article suivant de Marshall Ash/Erdös/Rubel, la condition (b'') signifie que est une fonction « variant -lentement ». Le Théorème 2 de l'article stipule alors que du fait que

(car implique ),

nous avons , ce qui contredit (a').

Le Théorème 1 de l'article stipule que si nous supposons f mesurable (et donc g mesurable), alors f « varie uniformément -lentement ». Il me semble que cela permet de remplacer (b'') par (b') et d'obtenir encore une contradiction. Ainsi, il semblerait que si une telle fonction g existe, elle n'est pas mesurable, ce qui la rendrait passablement compliquée (du moins pour l'apprenti géomètre différentiel que je suis...).

Cordialement,
Universus

[Médiat]

Bonjour Universus

Merci pour tout ce travail (j'ai essayé d'écrire sous la forme , mais sans aboutir à une conclusion claire)

Je ne connaissais pas cette notion de very slowly varying functions, alors que c'est bien le point qui m'intéresse (avec des conditions supplémentaires), je vais donc lire cet article avec intérêt.

Qu'une telle fonction soit complexe, si elle existe, ne me surprend pas, mais une démonstration d'existence ou d'inexistence me suffirait.

Merci encore

[ansset]

Bonjour Universus

Merci pour tout ce travail (j'ai essayé d'écrire sous la forme , mais sans aboutir à une conclusion claire)

cela revient à ma remarque plus haut, car sans l'avoir bien formulé avec la rigueur de resartus , cela reviendrait à une fct qui serait à la fois ( en prenant (1/x))
un 0(e(x)) et à la fois pour tout n x^n un 0(f(x))
bref un truc "entre" les puissances et l'exponentielle".

ps: mon 0 est un petit 0

[Universus]

Bonjour,

Je rebondis sur mon message précédent. Soit une fonction telle que . Ainsi, pour fixé, il existe tel que pour tout nous ayons . Ainsi, quel que soit l'entier k > 0,



Il en résulte donc que pour tout entier k>0, . Ainsi, la fonction ne satisfait pas la condition (a') de mon message précédent.

En d'autres termes, toute fonction qui satisfait ne satisfait pas dès que n est suffisamment grand.

[Médiat]

Bonjour,

Merci, je vais donc abandonner cette direction ; vous m'avez fait gagner beaucoup de temps !