Intégrale de lebesgue et théorème de convergence

[invite1f47911c]

Bonjour,


Soit f_k, f des fonctions intégrables et Ek, E dans M(Rn) tel que
lim_k ll f_k-f ll₁=0 et lim_k µ(E_k E) =0

je cherche à prouver que lim_k où désigne une mesure

Je ne vois pas du tout comment débuter, pourriez vous m'aider s'il vous plait ?

Merci beaucoup
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[minushabens]

Peux-tu préciser deux points?

- qu'est-ce que M(Rn) ?
- est-ce que la convergence L1 de fk vers f est relative à la mesure mu ou bien à la mesure eta?

[invite1f47911c]

Bonjour,

désolé il n'y a qu'une mesure a prendre en compte ici, disons eta (j'ai confondu les signes sur latex)

M(Rn) est une tribu contenant tous les ensemble de mesure extérieur zéro.

[invite1f47911c]

Est ce que quequ'un a une idée pour mon problème ?

Merci par avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1f47911c]

A B = (A\B) U (B\A) = (AUB) \ (A inter B)
CE la désigne la différence symétrique

[invite1f47911c]

Je sais que limk k ll fk - fll1 = lim = 0
et que la limite de la mesure des ensembles Ek et E privé de leur intersection est nulle.

J'ai tenté de faire des dessins mais je n'aboutis toujours pas

[minushabens]

J'essaierais de fabriquer une suite croissante d'ensembles Fk à partir des Ek de façon à en prendre la limite croissante et j'utiliserais le théorème de convergence monotone.

[invite1f47911c]

Merci Minushabens !

Dans ce cas, que faire de l'hypothèse que la limite de la mesure des deux ensembles privé de leur intersection est nulle ? Je ne l'utilise pas dans ma preuve

[minushabens]

Je ne l'utilise pas dans ma preuve

on ne l'a pas encore vue cette preuve! mais elle doit être fausse parce que cette hypothèse (que les Ek convergent vers E) est essentielle.

[invite1f47911c]

Effectivement, désolé je ne vois vraiment pas la "subtilité" .. (J'y passe vraiment du temps contrairement à ce que laisse penser mon résultat)

Je pensais pouvoir prendre directement une suite croissante Fk à partir des Ek de façon à en prendre la limite croissante.. Est ce que vous pourriez m'éclairer un peu plus s'il vous plaît ?

[minushabens]

Si tu prends pour Fk l'intersection des El pour l>k, la suite Fk est croissante.

[invite1f47911c]

C'est certainement une question bête mais je bloque sur ce point, jai vraiment besoin de la poser. Ne vais-je pas perdre en généralité puisque que je veux démontrer pour une intégrale qui prend ses valeurs dans Ek ?