f<1, Intégrale de Lebesgue<1 ?

[clairehd]

Bonjour à tous,

je cherche à prouver que si f est intégrale (Lebesgue Intégrable) et que f < 1 presque partout sur I, alors l'intégrale de Lebesgue de f sur I <1
Je crois qu'ici I = [0,1] (mais mon professeur ne l'a pas reprécisé dans l'énoncé).
Je ne trouve pas comment débuter.

Merci à tous pour votre aide
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[JB2017]

Bonjour; I=[0,1] bien sûr.
Vu les propriété de l'intégrale cela revient à démontrer que si f>0 presque partout sur I alors

Maintenant on suppose que et on revient à la définition de l'intégrale comme limite d'intégrale de
fonctions en escalier. Il suffit d'écrire les choses pour voir la contradiction.

[clairehd]

Bonjour JB 2017, merci de votre aide

Cela fait plusieurs jours que je réfléchis dessus et je ne trouve toujours pas la contradiction..

Voici ce que j'ai fait pour débuter la preuve (première question, pourquoi doit on le démontrer pour l'intégrale = 1 et pas plutot >=1 ?)

Du coup, j'ai fait avec <= mais je suppose que si c'est faut le raisonnement doit tenir pour jsute l'égalite à 1

Supposons pour une contradiction que l'intégrale de f sur I >=1 alors que f<1 presque partout

On sait que l'intégrale de f sur I = Somme₁^m(a_j.µ(A_j)
Prenons les quelques a_j tel que f>1. Nous appelons ces a_j, a_i. Dans ce cas, µ(a_i)=0

Somme₁^m(a_j.µ(A_j) >=1 pour les j différent de i

Mais dans ce cas, f<1 donc aj<1
et I=[0,1] donc les µ(A_j) <1
Je trouve que a_j.µ(A_j<1
Mais je ne parviens pas à conclure que leur somme est inférieur à 1

Est ce que l'un d'entre vous voit l'astuce ici ?

Merci !


Ps : désolé, je sais que écrire intégrale de f sur I n'est pas très lisible. Je ne sais pas comment faire les intégrales sur ce forum...

[gg0]

Bonjour.

As-tu essayé ce que propose JB2017 ?
En effet, si presque partout, alors presque partout où est la fonction qui vaut 1 sur I=[0;1]. or . Et ensuite, c'est presque évident de montrer qu'une fonction presque partout positive a une intégrale positive et d'en conclure ce que tu veux.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[JB2017]

Bonjour
Il faut procéder avec méthode.
D'abord je ne comprends pas une grosse partie de ta solution. Mais avant tout cela vient de l'écriture.
L'éditeur n'est pas terrible ici mais néanmoins tu peut écrire du code latex (c'est simple) .
Par exemple \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2} donne


(il suffit d'écrire le code et ensuite tu utilises la balise tex )

et \int_0^{x+1} f(x) dx donne


Maintenant, revenons au problème. Normalement tu as à ta disposition ( cf le cours) la définition et quelques propriétés de l'intégrale que l'on va utiliser.

Si p.p (code latex f \leq 1) on a

Donc d'après cette petite propriété on ne peut avoir

C'est pour cela que l'on va supposer que

Ensuite je ne comprend pas ce que tu as écrit mais de tout façon cela ne semble pas correct. C'est à dire qu'il faut écrire la définition de
exactement.

Maintenant, je le rappelle puisque que l'on va utiliser la définition il serait mieux revenir "à zéro".
C'est à dire on pose g=1-f donc g>0 pp et cela revient à montrer que et le raisonnement serait de supposer que l'on a

[JB2017]

désolé gg0 mais je n'ai pas vu ton message.

[gg0]

Pas de souci,

j'essayais de ramener Clairehd à ta méthode, tu fais de même.
Je suis comme toi, je ne sais pas trop quelles sont les notations qu'elle utilise, même si j'ai quelques idées, mais c'est nettement plus compliqué que ce qu'on peut faire en se ramenant à 0. La linéarité de l'intégrale est tellement pratique !!

Cordialement.